دانلود پایان نامه user8192- موضوع پژوهش علمی

Please enter banners and links.

فصل اول

مقدمه
مفهوم گروه‌وارها در هندسه دیفرانسیل در سال 1950 توسط اریزمن مطرح شد که در واقع تعمیمی از گروه‌ها می‌باشد.یکی از نظریه‌هایی که بر مبنای گروه‌وارها می‌توان ساختارهای آن را مشخص کرد، نظریه‌ی فضاهای پوششی است. این نظریه یکی از مهم‌ترین نظریه‌ها در توپولوژی جبری است که با مطالعه‌ی رسته‌ها، گروه‌وارها و روابط بین آن‌ها در فضاهای پوششی، مفهوم پوشش بامعنا می‌شود که این روابط توسط براون، هاردی، آیسن و موسوک در مراجع [2,6,9,10,14,16]، مورد بررسی قرار گرفته است. در سال 1971، هایگنز نشان داد نظریه‌ی گروهوارهای پوششی نقش مهمی را در عملکرد گروه‌وارها ایفا می‌کنند. در این نظریه دو نتیجه‌ی مهم و کلیدی وجود دارد که بررسی توپولوژیکی این دو نتیجه، در سال 1976 توسط براون و هاردی در مرجع [2]، بیان شده است. طی این بررسی براون در سال 2006 در مرجع [1]، هم‌ارزی رسته‌ی TCov(X) از پوششهای توپولوژیکی X و رسته‌ی GdCov(π1X)از گروه‌وارهای پوششی گروهوار بنیادی π1X را برای فضای توپولوژیکی X که دارای پوشش جهانی می‌باشد، نشان داد.
در سال 1998، در مرجع [14]، موسوک نظریه‌ی حلقه-گروه‌وار را تعریف کرد. علاوه بر آن ثابت کرد که برای حلقه‌ی توپولوژیکی X، π1X یک حلقه-گروه‌وار می‌شود. سپس هم‌ارزی رسته‌ی TRCov(X) از پوشش‌های حلقه‌ای توپولوژیکی X و رسته‌ی RGdCov(π1X) از پوشش‌های حلقه-گروه‌واری π1X را نشان داد.
در فصل اول این پایان‌نامه، مفاهیمی از توپولوژی جبری مانند هموتوپی، هموتوپی‌راهی و اولین گروه بنیادی را بیان می‌کنیم. سپس تعاریفی از نگاشت‌های پوششی، بالابرها، رسته‌ها و تابعگون‌ها می‌آوریم و در آخر به مفاهیمی از فضاهای توپولوژیکی، گروه‌ها وحلقه‌ها می‌پردازیم.
در فصل دوم، گروه‌وارها و گروه‌وارهای توپولوژیکی را معرفی می‌نماییم، سپس مفاهیمی از هموتوپی و اولین گروه بنیادی روی گروه‌وارها را مورد بررسی قرار می‌دهیم.
در فصل سوم، عمل گروه‌وار Rروی یک مجموعهمانند S، مدول‌ ضربی گروه‌واری وR-فضاها را مطرح می‌کنیم و نشان می‌دهیم رسته‌ی TCov(R) از پوشش‌های توپولوژیکی، با رسته‌ی TOp(R) از R– فضاها هم‌ارز می‌باشد.
در فصل چهارم، حلقه-گروه‌وارهای توپولوژیکی، ایده‌آل‌های حلقه-گروه‌واری و قضایای مربوط به آن‌ها مورد بحث قرار می‌گیرد. همچنین در این فصل، ثابت می‌شود که گروه‌وار بنیادی π1X، یک حلقه-گروه‌وار توپولوژیکی است که از این مطلب در فصل پنجم برای تعریف رسته‌ها و هم‌ارزی بین آن‌ها استفاده می‌شود.
در فصل پنجم به معرفی رسته‌هایی در فضاهای پوششی و همچنین رسته‌هایی از پوشش‌های گروه‌واری می‌پردازیم و به کمک بالابرها هم‌ارزی بین UTRCov(X)، که یک زیررسته‌ی کامل از TRCov(X) می‌باشد و UTRGdCov(π1X) که یک زیررسته‌ی کامل از TRGdCov(π1X) می‌باشد، را نشان می‌دهیم. در نهایت نگاشت بالابرنده روی گروه‌وارهای پوششی را تعریف می‌کنیم.
تعاریف وقضایای استنادی
تعریف 1-1. توپولوژی گردایه‌ای مانند τ از زیرمجموعه‌های Xاست که در شرایط زیر صدق می‌کند.
1- ∅ و X متعلق به τ ‌باشند.
2- اجتماع اعضای هر زیرگردایه‌ی τ، متعلق به τ ‌باشد.
3- مقطع اعضای هر زیرگردایه‌ی متناهی τ، متعلق به τ‌ باشد.
تعریف 1-2. فضای توپولوژیک
مجموعه‌ی Xرا که برای آن توپولوژیی مانند τ مشخص شده است، فضای توپولوژیک می‌نامیم.
تعریف 1-3. پایه‌ی یک توپولوژی
فرض کنید X یک مجموعه باشد. یک پایه‌ی توپولوژی‌ در X گردایه‌ای از زیرمجموعه‌های X (موسوم به اعضای پایه) می‌باشد به‌طوری‌که:
1- به ازای هر x∈X، دست‌کم یک عضو پایه مانند B شامل x موجود است.
2- اگر x متعلق به مقطع دو عضو پایه مانند B1و B2 باشد، آن‌گاه عضوی از پایه مانند B3 وجود دارد به طوری‌که x∈B3 و B3⊂B1∩B2.
تعریف 1-4. اگر ???? پایه‌ی توپولوژی در Xباشد، آن‌گاه τ، توپولوژی تولید شده به وسیله‌ی ????، چنین تعریف می‌شود:
زیرمجموعه‌ی U از X را در X باز گوییم(یعنی عضوی از τ باشد)، اگر به‌ازای هر x∈U، عضوی از پایه مانند ????B∈ وجود داشته باشد به طوری‌که x∈B و B⊂U.
بنابر تعریف بالا، هر عضو ???? در X باز است، بنابراین ⊂τ????.
تعریف 1-5. توپولوژی حاصل‌ضربی
فرض کنید X وY دو فضای توپولوژیک باشند. توپولوژی حاصل‌ضربی در X×Yتوپولوژی است که پایه‌ی آن گردایه‌ی ???? متشکل از همه‌ی مجموعه‌هایی به صورت U×Vاست که در آن Uزیرمجموعه‌ی بازی از Xو Vزیرمجموعه‌ی بازی از Yاست.
قضیه 1-6. اگر ???? پایه‌ای برای توپولوژی Xو ???? پایه‌ای برای توپولوژی Yباشد، آن‌گاه گردایه‌ی
D=B×CB∈B,C∈C
پایه‌ای برای توپولوژی X×Yاست.
برهان. به مرجع [17]، صفحه‌ی 114 مراجعه کنید.
تعریف 1-7. توپولوژی زیرفضایی
فرض کنید X یک فضای توپولوژیک با توپولوژیτ باشد. اگر Yزیرمجموعه‌ای از Xباشد، گردایه‌ی
τY=Y∩UU∈τ
یک توپولوژی در Yاست و به توپولوژی زیرفضایی موسوم است. با این توپولوژی، Yرا یک زیرفضای Xمی‌خوانند.
لم 1-8. اگر ???? پایه‌ای برای توپولوژی Xباشد، آن‌گاه گردایه‌ی
BY=B∩YB∈B
پایه‌ای برای توپولوژی زیرفضایی است.
برهان. به مرجع [17]، صفحه‌ی 116 مراجعه کنید.
قضیه 1-9. اگر Aزیرفضایی از Xو Bزیرفضایی از Yباشد، آن‌گاه توپولوژی حاصل‌ضربی در A×B همان توپولوژیی است که در A×Bبه عنوان یک زیرفضای X×Y القاء می‌شود.
برهان. به مرجع [17]، صفحه‌ی 118 مراجعه کنید.
تعریف 1-10. نگاشت خارج‌قسمتی
فرض کنید Xو Yدو فضای توپولوژیک باشند و p:X→Yنگاشتی پوشا باشد. نگاشت pرا یک نگاشت خارج‌قسمتی خوانیم در صورتی‌که هر زیر‌مجموعه‌ی Yمانند Uدر Yباز است اگر و فقط اگر p-1(U)در Xباز باشد.
تعریف 1-11. توپولوژی خارج قسمتی
اگر X یک فضا، Aیک مجموعه و p:X→Aیک نگاشت پوشا باشد، آن‌گاه تنها یک توپولوژی τ در Aوجود دارد که p نسبت به آن، نگاشت خارج‌قسمتی است. این توپولوژی به توپولوژی خارج‌قسمتی القاء شده توسط pموسوم است.
البته توپولوژی τ چنین تعریف می‌شود که آن را متشکل از زیرمجموعه‌هایی مانند Uاز Aمی‌گیریم که p-1Uدر Xباز باشد.
تعریف 1-12. توپولوژی جعبه‌ای
فرض کنید Xαα∈Iخانواده‌ی اندیس‌داری از فضاهای توپولوژیک باشند. گردایه‌ی همه‌ی مجموعه‌های به صورت α∈JUαرا که به‌ازای هر α، مجموعه‌ی Uαدر Xαباز است، به عنوان یک پایه برای توپولوژی‌ای در فضای حاصل‌ضربی α∈JXαاختیار می‌کنیم. توپولوژی تولید‌شده به وسیله‌ی این پایه را توپولوژی جعبه‌ای می‌نامیم.
تعریف 1-13. مقایسه‌ی توپولوژی جعبه‌ای و حاصل‌ضربی
یک پایه‌ی توپولوژی جعبه‌ای در Xα، همه‌ی مجموعه‌های به شکل Uα است که در آن به‌ازای هر α، مجموعه‌ی Uαدر Xαباز است. توپولوژی حاصل‌ضربی در Xα، همه‌ی مجموعه‌های به شکل Uαاست که در آن به‌ازای هر α، مجموعه‌ی Uαدر Xαباز است و به‌ استثنای عده‌ای متناهی از α ها، Uα مساوی Xαاست.
نکته 1-14. برای حاصل‌ضرب‌های متناهی این دو توپولوژی دقیقاً یکی هستند.
تعریف 1-15. نگاشت پیوسته
اگر به‌ازای هر x∈Xو هر همسایگی f(x)مانند V، یک همسایگی xمانند Uیافت شود به طوری‌که f(U)⊂V، آن‌گاه نگاشت f:X→Yرا پیوسته گوییم.
قضیه 1-16. فرض کنید X، Yو Zفضاهای توپولوژیک باشند.
1- اگر A زیرفضایی از Xباشد، آن‌گاه تابع احتوای j:A→Xپیوسته است.
2- اگر f:X→Yو g:Y→Zپیوسته باشند، آن‌گاه تابع مرکب gof:X→Zنیز پیوسته است.
3- اگر تابع f:X→Yپیوسته و A زیر‌فضایی از Xباشد، آن‌گاه تابع تحدید fA:A→Yنیز پیوسته است.
برهان. به مرجع [17]، صفحه‌ی 139 مراجعه کنید.
تعریف 1-17. فرض کنید π1:X×Y→X با ضابطه‌ی π1x,y=xو π2:X×Y→Y با ضابطه‌ی π2x,y=yتعریف‌شده باشند. نگاشت‌های π1و π2، به‌ترتیب نگاشت‌های تصویریX×Y به روی عوامل اول ودوم خوانده می‌شوند.
لم 1-18. نگاشت‌های تصویری π1و π2، پیوسته و پوشا می‌باشند.
برهان. به مرجع [17]، صفحه‌ی 115 مراجعه کنید.
قضیه 1-19. لم چسب
فرض کنید X=A∪Bو A و Bدر Xبسته باشند. به علاوه، فرض کنید f:A→Yو g:B→Yپیوسته باشند. در این‌صورت اگر به ازای هر x∈A∩B، داشته باشیم f(x)=g(x)، آن‌گاه می‌توان fو gرا با هم در‌آمیخت تا تابع پیوسته‌ی h:X→Yرا به‌دست آورد که به‌ازای x∈A، به‌صورت hx=f(x)و به‌ازای x∈B، به‌صورت hx=g(x)تعریف شود.
برهان. به مرجع [17]، مراجعه کنید.
تعریف 1-20. نگاشت همئومورفیسم
فرض کنید X وY دو فضای توپولوژیکی باشند و تابع f:X→Yتناظری دوسویی باشد. اگر fو تابع معکوس آن f-1:Y→X، هر دو پیوسته باشند، آن‌گاه f را همئومورفیسم می‌خوانیم.
تعریف 1-21. هموتوپی
فرض کنیم f و fʹنگاشت‌های پیوسته‌ای از فضای X به فضای Y باشند. f را با fʹهموتوپ گوییم در صورتی‌که نگاشت پیوسته‌ای مانند F:X×I→X موجود باشد به‌طوری‌که به‌ازای هر x∈X، داشته باشیم:
Fx,0=fx , Fx,1=fʹxجایی‌که I=0,1. نگاشت Fرا یک هموتوپی بین f و fʹمی‌نامیم. اگر f با fʹهموتوپ باشد می‌نویسیم f≃fʹ.
تعریف 1-22. مسیر در فضای توپولوژیکی
اگرf:0,1→X نگاشت پیوسته‌ای باشد به‌طوری‌که f0=x0 و f1=x1، گوییم fمسیری در X از x0به x1است. همچنین x0را نقطه‌ی آغاز و x1را نقطه‌ی انجام مسیر fمی‌نامیم.
تعریف 1-23. هموتوپ‌راهی
مسیرهای f و fʹکه بازه 0,1 را به فضای Xمی‌نگارند، هموتوپ‌راهی گوییم در صورتی‌که هر دو دارای نقطه‌ی آغازی x0ونقطه‌ی انجامی x1باشند ونگاشت پیوسته‌ای مانندF:I×I→ Xموجود باشد به‌طوری‌که به‌ازای هر s,t∈Iداشته باشیم:
Fs,0=fs , Fs,1=fʹs F 0,t=x0 , F1,t=x1 Fرا یک هموتوپ‌راهی بین fو fʹمی‌نامیم. اگر fبا fʹ هموتوپ‌راهی باشد می‌نویسیم f≃pfʹ.
لم 1-24. رابطه‌های ≃ و≃p روابط هم‌ارزی هستند.
برهان. به مرجع [17]، صفحه 320 رجوع کنید.
تعریف 1-25. کمند در فضای توپولوژیکی
فرض کنید Xیک فضای توپولوژیکی و x0نقطه‌ای از آن باشد. مسیری درX که از x0شروع و به x0 منتهی می‌شود، یک کمند بر پایه‌یx0 نامیده می‌شود.
تعریف 1-26. اگر fمسیری در Xازx0 بهx1 وg مسیری دیگر درX ازx1 بهx2 باشد، آن‌گاه f*gترکیبf وg را به عنوان مسیری مانند h با تساوی زیر تعریف می‌کنیم:
hs=f2s s∈0,12ازای بهg2s-1 s∈12,1ازای بهتعریف 1-27. اولین گروه بنیادی
مجموعه رده‌های هموتوپی‌راهی کمندهای بر پایه‌ی x0، با عمل* اولین گروه بنیادیX نسبت به نقطه‌ی‌ پایهx0 نامیده می‌شود. این گروه را با π1(X,x0)نمایش می‌دهیم.
تعریف 1-28. فرض کنید p:E→B یک نگاشت پیوسته و پوشا باشد. گوییم مجموعه‌ی باز Uاز Bبه وسیله‌یp به طور هموار پوشانده می‌شود هرگاه تصویر عکس p-1(U)را بتوان در Eبه صورت اجتماعی از مجموعه‌های باز جدا از هم Vαنوشت به طوری‌که به‌ازای هر αتحدید p بهVα همئومورفیسمی ازVα به روی Uباشد. هر یک از مجموعه‌های Vα را یک قاچ p-1(U)می‌نامیم.
تعریف 1-29. نگاشت پوششی
فرض کنید p:E→B یک نگاشت پیوسته و پوشا باشد. اگر هر نقطه‌ی bازB دارای همسایگی مانند Uباشد که به وسیله‌ی pبه‌طور هموار پوشانده شود آن‌گاه pرا یک نگاشت پوششی و Eرا یک فضای پوششی Bمی‌نامیم.
تعریف 1-30. بالابر
نگاشت p:E→Bرا در نظر می‌گیریم. فرض کنید fیک نگاشت پیوسته از فضایی مانند Xبه توی Bباشد. نگاشت f:X→B را یک بالابرf گوییم در صورتی‌که .pof=fلم 1-31. فرض کنیم p:E→Bیک نگاشت پوششی باشد و pe0=b0. هر مسیر در Bبا نقطه‌ی آغاز b0، مانند f:0,1→B، دارای بالابر یکتایی به مسیرf با نقطه‌ی آغازی e0می‌باشد.
برهان. به مرجع [17]، صفحه 336 رجوع کنید.
تعریف 1-32. پوشش جهانی
اگر Eیک فضای همبند ساده و p:E→B یک نگاشت پوششی باشد، آن‌گاه E را یک فضای پوششی جهانیB می‌نامیم.
اگر B همبندراهی موضعی باشد و p:E→Bوpʹ:Eʹ→B دو فضای پوششی همبند‌ساده‌ی Bباشند، آن‌گاه همئومورفیسمی مانند h:E→Eʹموجود است که pʹoh=p.
تعریف 1-33. رسته
رسته‌ای مثل ????خانواده‌ای متشکل از اشیاء است با این ویژگی که
1- به ازای هر دو شی مثل Aو B مجموعه‌ای متناظر می‌شود که با homC(A,B)(مجموعه‌ی ریخت‌های از Aبه B) نشان داده می‌شود و دارای این خاصیت است که به‌ازای هر چهار شیءA، B، CوD که A,B≠(C,D)،
homC(A,B)∩homC(C,D)=∅
2-به‌ازای هر سه شیء مثل A، Bو C، تابع
k:homCB,C×homCA,B→homC (A,C) , (g,f)→gf
موجود است که
(i به‌ازای هر چهار شیءA ، B، Cو D، اگرf∈homC(A,B)، g∈homC(B,C)و h∈homC(C,D)، آن‌گاهhogof=hogof .
(ii به‌ازای هر شیء مثل A، عضوی ازhomC(A,A) مثل 1Aموجود است که به‌ازای هر عضو از homCA,B مثل fو هر عضو ازhomC(C,A) مثل g، داشته باشیم:
fo1A=f , 1Aog=g
تعریف 1-34. تابعگون
فرض کنید ???? و D دو رسته باشند. تابعگون همورد (پادورد) از C به D زوجی متشکل از دو تابع است: یکی تابع شیء که به هر شیء از C مثل A، شیء F(A)ازD را نسبت می‌دهد و دیگری تابع ریختار که آن را نیز با F نشان می‌دهیم و به هر ریختار از ???? مثل f:A→B، ریختاری از D مثل Ff:F(A)→F(B) (Ff:F(B)→F(A)) نسبت می‌دهد که
1- به‌ازای هر شیء از ???? مثل A، .F1A=1F(A)2- به‌ازای هر دو ریختار از C مثل f:A→Bو g:B→C، داشته باشیم
Fgof=FgoF(f) (Fgof=FfoF(g))
تعریف 1-35. یکریختی طبیعی
فرض کنیدF وG تابعگون‌هایی از رسته‌ی ???? به رسته‌ی ???? باشند. تبدیل طبیعی τ:F→G، تابعی است که برای هر شیء aاز ????، ریخت τa:Fa→Gaاز ???? را چنان نسبت می‌دهد که به‌ازای هر ریخت f:a→bاز ????، Gfoτa=τboFf. به‌عبارت دیگر نمودار زیر جابه‌جایی است:
F(a)G(a)F(b)G(b)τaF(f)G(f)τb
نمودار1.
اگر برای هر a∈C، τaیکریختی باشد، آن‌گاه τ را یکریختی طبیعی می‌نامیم.
تعریف 1-36. هم‌ارزی رسته‌ها
اگر تابعگون‌های F:C→Dو G:D→C و یکریختی‌های طبیعی τ:FoG→idDو σ:GoF→idCموجود باشند، رسته‌های ????و ???? را هم‌ارز گوییم.
قضیه 1-38. فرض کنید Gیک گروه و Hزیرمجموعه‌ای غیرتهی از Gباشد. در این‌صورت H≤G (H زیر گروه G است) اگر و فقط اگر به‌ازای هر a,b∈H، داشته باشیم ab-1∈H.
برهان. به مرجع [7]، مراجعه کنید.
قضیه 1-40. فرض کنید R,+,∙یک حلقه و Sیک زیرمجموعه‌ی غیرتهی از Rباشد. در این‌صورت Sیک زیرحلقه از Rاست اگر وفقط اگر
1- به‌ازای هر a,b∈S، a-b∈S.
2- به‌ازای هر a,b∈S، ab∈S.
برهان. به مرجع [7]، مراجعه کنید.
نکته1-41. اگر R و Rʹدو حلقه باشند، با تعریف ضرب‌ گروهی a,b+c,d=(a+b,c+d)، ضرب‌ حلقه‌ای a,bc,d=(ab,cd)و (-a,-b) به عنوان معکوس گروهی (a,b)، جایی‌که -aمعکوس a در Rو -bمعکوسb در Rʹمی‌باشد و همچنین با درنظر گرفتن e,eʹبه عنوان عنصر همانی R×Rʹ، جایی‌که eعضو همانی Rو eʹ عضو همانی Rʹمی‌باشد، R×Rʹ نیز یک حلقه است.
تعریف 1-42. همریختی گروهی
فرض کنید (G,∙)و (H,*)دو گروه باشند. یک تابع f:G→Hرا یک همریختی از گروه Gبه گروه Hنامند اگر به‌ازای هر a,b∈G، fa∘b=fa*f(b).
تعریف 1-43. همریختی حلقه‌ای
فرض کنید (R,+,∙)و Rʹ,⊕,∘ دو حلقه و f:R→Rʹ یک تابع باشد. در این‌صورت fرا یک همریختی حلقه‌ای از Rبه Rʹگوییم اگر به‌ازای هر a,b∈R،
1- .fa+b=fa⊕fb2- . fab=f(a)∘fbتعریف 1-44. فرض کنید R,+,∙یک حلقه و Iیک زیرحلقه از Rباشد. در این‌صورت
1- اگر به‌ازای هر r∈Rو هر a∈I، ra∈I، I را یک ایده‌آل چپ Rگوییم.
2- اگر به‌ازای هر r∈R و هر a∈I، ar∈I، I را یک ایده‌آل راست Rگوییم.
3- اگر I هم یک ایده‌آل چپ و هم یک ایده‌آل راست R باشد، I را یک ایده‌آل Rگوییم.
فصل دوم

گروه‌وارها و گروه‌وارهای توپولوژیکی
تعریف 2-1. گروه‌وار
یک گروه‌وار، یک رسته است که تشکیل شده از دو مجموعه‌ی R وR0 که به‌ ترتیب مجموعه‌ی ریخت‌ها ومجموعه‌ی اشیاء گروه‌وار نامیده می‌شوند به همراه نگاشت‌های زیر:
1- دو نگاشت α:R→R0 و β:R→R0 که به‌ ترتیب نگاشت‌های منبع وهدف نامیده می‌شوند.
2- نگاشت
1( ):R0→R
x→1x
که نگاشت شیء نامیده می‌شود.
3- نگاشت معکوس
i:R→R
a→a-1
4- نگاشت ترکیب
Rα× β R→R
(b,a)→boa
جایی‌که
Rα× β R=(b,a)αb=β(a)
همچنین نگاشت‌ها باید در شرایط زیر صدق کنند:
1- برای هر b,a ϵRα× β R داریم:
αboa=α(a)
و
βboa=β(b)
2- برای هر a,b,cϵR به‌طوری‌که αc=βb وαb=β(a) داریم:
coboa=coboa
3- برای هر x∈R، جایی که 1x همانی در xاست، داریم:
α1x=β1x=x
4- برای هر a∈R داریم:
a o1α(a)=aو
1β(a)oa=a
5-هر عنصر a∈R دارای یک وارون a-1 است به طوری که
αa-1=β(a)
و
βa-1=α(a)
نکته 2-2. با توجه به شرط 5 ترکیب‌هایaoa-1 وa-1oa با معنا می‌باشند وداریم:
aoa-1=1β(a)و
a-1oa=1α(a)
گزاره 2-3. فرض کنید R یک گروه‌وار روی R0باشد وr∈R کهαr=x و βr=y در این صورت
1- اگر h∈R، αh=y و hor=r آن‌گاهh=1y .
2- اگر j∈R، βj=x و roj=r آن‌گاهj=1x .
3- اگر h∈R، αh=y و hor=1x آن‌گاهh=r-1 .
4- اگر j∈R،βj=x و roj=1y آن‌گاهj=r-1 .
برهان قسمت 1-
داریم hor=r. بنابراین horor-1=ror-1 . لذا .ho1β(r)=1β(r)بنابراین داریم:
h=ho1α(h)=ho1y=ho1β(r)=1β(r)=1y
برهان قسمت 2-
roj=r، بنابراین 1α(r)oj=1α(r). در نتیجه
j=1β(j)oj=1α(r)oj=1α(r)=1xبرهان قسمت 3-
h=ho1α(h)=ho1β(r)=horor-1=horor-1=1xor-1= 1α(r)or-1 =1β(r-1)or-1=r-1
برهان قسمت 4-
j=1β(j)oj=1α(r)0j=r-1oroj=r-1o1y=r-1o1β(r)=r-1این قسمت از گزاره نشان می‌دهد معکوس یکتاست.■

تعریف 2-4. اگر R یک گروه‌وار باشد، برای x,y∈R0 مجموعه‌ی همه‌ی ریخت‌های a∈R
را که αa=xو βa=y با R(x,y)نشان می‌دهیم.
مثال 2-5. ثابت می‌کنیم هر گروه خود یک گروه‌وار است.
فرض کنیم R یک گروه باشد. با در نظر گرفتن عضو همانی گروه به عنوان مجموعه اشیاء گروه‌وار و در نظر گرفتن خود R به عنوان ریخت‌های گروه‌وار، نگاشت‌ها را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
نگاشت منبع و هدف
α,β:R→e
a→eنگاشت شیء
1( ):e→R e→eنگاشت معکوس
i:R→R a→a-1جایی‌که a-1 وارون عنصرa در گروه Rمی‌باشد.
نگاشت ترکیب
O:R α× βR→R
(a,b)→aobنگاشت ترکیب را همان عمل گروه رویa و bمی‌گیریم.
نشان می‌دهیم که شرایط گروه‌وار را دارد:
1- αboa=e=αa , βboa=e=β(a) 2- برای هرa,b,c∈R،چون عمل گروه دارای خاصیت شرکت‌پذیری است، بنابراین داریم:
coboa=coboa3- α1e=e , β1e=e
4- ao1α(a)=ao1e=aoe=a , 1β(a)oa=1eoa=eoa=a 5- βa-1=e=αa , αa-1=e=βa
و
aoa-1=e=1e=1β(a) , a-1oa=e=1e=1α(a)تعریف 2-6. برای x∈R0،StRx یا Rx مجموعه‌ی همه‌ی ریخت‌هایی است که باx شروع می‌شود و CoStRxیا Rx مجموعه‌ی همه‌ی ریخت‌هایی است که با xبه پایان می‌رسند. یعنی
StRx=α-1xو
CoStRx=β-1(x)تعریف 2-7.‌ مجموعه
Rx=Rx,x=StRx∩CoStRx= a∈Rαa=βa=x ‌را گروه راسی یا شئ‌ای در xمی‌نامیم.
برای هر a,b∈R (x)، چون αaob=αb=x و βaob=βa=x پس aob∈R(x)، و با در نظر گرفتن 1x به عنوان عضو همانی وa-1=a به عنوان وارون a می‌بینیم کهR(x) یک گروه می‌باشد.
تعریف 2-8. گروه‌وار متعدی
اگر برای هرx,y∈R0 داشته باشیم ،R(x,y)≠∅گروه‌وارR را متعدی گوییمواگر برای هر x,y∈R0،R(x,y) فقط یک عنصر داشته باشد،Rرا 1-متعدی گوییم. .
مثال 2-9. حاصل‌ضرب دو گروه‌وار
فرض کنید R,R0و(R΄,R0΄) دو گروه‌وار باشند. نشان می‌دهیم (R×Rʹ,R0×R0΄) یک گروه‌وار می‌باشد که آن را حاصل‌ضرب (R,R0)و R΄,R0΄می‌نامیم.
اگر گروه‌وار(R,R0) را با نگاشت‌های α، β، 1x، iوO و گروه‌وار (R΄,R0΄) را با نگاشت‌های αʹ، βʹ، 1x΄، iʹو O΄در نظر بگیریم،(R×Rʹ,R0×R0΄) با نگاشت‌های زیر گروه‌وار است:
نگاشت منبع و هدف:
α̋=α×αʹ:R×Rʹ→R0×R0ʹ
r1,r2→(αr1,αʹ(r2))
و
β̋=β×βʹ:R×Rʹ→R0×R0ʹ
r1,r2→(βr1,βʹ(r2))
نگاشت شیء:
1( )̋=1( )×1( )ʹ:R×Rʹ→R0×R0ʹ
x,xʹ→(1x,1xʹ)
نگاشت معکوس
i̋=i×iʹ:R×Rʹ→R×Rʹ
r1,r2→(ir1,iʹ(r2))
نگاشت ترکیب
Ő=O×Oʹ:(R×Rʹ)2→R×Rʹ
r1,r1ʹ,r2,r2ʹ→(Or1,r2,Oʹ(r1ʹ,r2ʹ))
جایی‌که
(R×Rʹ)2 =r1,r1ʹ,r2,r2ʹα×αʹr1,r1ʹ=(β×βʹ)r2,r2ʹ =r1,r1ʹ,r2,r2ʹαr1=βr2 , αʹr1ʹ=ʹ(r2ʹ)
به راحتی دیده می‌شود که این نگاشت‌ها در شرایط گروه‌وار نیز صدق می‌کنند.
HH0fRR0f0αH,βHαR,βR
نمودار2.
توجه کنید شرایطαRof=f0oαH و βRof=f0oβHنشان می‌دهند که هرگاهboa تعریف شده باشد، fbof(a) نیز تعریف می‌شود. زیرا در این‌صورت داریم:
αRf(b)=f0αHb=f0βH(b)=βR(f(b))
تعریف 2-11. ریخت حافظ پایه
اگر H0=R0 وf0=idH0 ، می‌گوییم fیک ریخت روی H0است یا f یک ریخت حافظ پایه است.
مثال 2-12. اگرR یک گروه‌وار روی R0، به ترتیب با نگاشت‌های منبع و هدفα و β باشد، در این‌صورت نگاشت
f=β,α:R→R0×R0
r→βr,αr
یک ریخت حافظ پایه از گروه‌وارها می‌باشد.
زیرا R0×R0 با نگاشت‌های زیر یک گروه‌وار روی R0 می‌باشد.
نگاشت منبع
αʹ:R0×R0→R0
(x,y)→y
نگاشت هدف
βʹ:R0×R0→R0
(x,y)→x
نگاشت شیء
1( ):R0→R0×R0
x→x,x
نگاشت معکوس
i:R0×R0→R0×R0
x,y→(y,x)
نگاشت ترکیب
O:R0×R0×(R0×R0)→R0×R0
x,y,(y,z)→(x,z)
که در شرایط گروه‌وار صادق می‌باشد:
1-αʹx,yo(y,z)=αʹy,z=z
و
βʹx,yo(y,z)=βʹx,y=x
2-x,yoy,zo(z,k)=x,yoy,k=(x,k)
و
x,yo(y,z)oz,k=x,zoz,k=(x,k)
3-αʹ1x=αʹx,x=βʹx,x=βʹ1x=x
4-x,yo1αʹ(x,y)=x,yoy,y=(x,y)
و
1βʹx,yo(x,y)=x,xox,y=(x,y)
5-αʹx,y=βʹy,x=y
و
αʹy,x=βʹx,y=x
همچنین داریم:
x,yoy,x=x,x=1βʹ(x,y)
و
y,xox,y=y,y=1αʹ(x,y)
با توجه به نگاشت‌های منبع و هدف گروه‌وار داریم:
αʹofr=αʹβr,α(r)=αr=f0(α(r))
و
βʹofr=βʹβr,α(r)=βr=f0(β(r))
همچنین داریم:
froh=βroh,α(roh)=(βr,α(h))=βr,α(r)oβh,α(h)=frof(h)
گزاره 2-13. اگر(f,f0) یک ریخت بین گروه‌وارهای Hو Rباشد، آن‌گاه:
برای هرx∈H0،f1x=1f0(x).
برای هرh∈H، fh-1=(f(h))-1.
برهان قسمت1-
ابتدا نشان می‌دهیم برای x∈H0، 1xo1x=1x. از آن‌جا که نگاشت αپوشاست، a∈Hموجود است که αa=x. بنابراین
1xo1x=1α(a)o1α(a)=a-1oaoa-1oa=a-1oaoa-1oa=a-1o1β(a)oa=a-1oa=1α(a)=1x

پس
f1 xof1x=f1xo1x=f(1x)
قرار می‌دهیمh=f(1x)، r=f(1x)و y=f0(x). در این‌صورت داریم:
hor=f1xof1x=f1x=r
بنابراین طبق گزاره2-3 قسمت 1 ، h=1y. یعنیf1x=1f0(x).
برهان قسمت2-
قرار می‌دهیم r=f(h)وj=f(h-1). داریم:
βʹj=βʹf(h-1)=f0β(h-1)=f0α(h)=αʹf(h)=αʹ(r)
و
fhofh=fhoh-1=f1β(h)=1f0(β(h))=1βʹ(f(h))=1βʹ(r)
در نتیجه طبق گزاره 2-3 قسمت4،h=r-1. یعنیfh-1=(f(h))-1.■
تعریف 2-14. ریخت پوششی گروه‌وارها
فرض کنید H و R دو گروه‌وار باشند. اگر برای هر x∈H0، تحدیدf یعنی fx:StHx→StRf(x) دوسویی باشد، ریختf:H→R از گروه‌وارها، یک ریخت پوششی نامیده می‌شود.
تعریف 2-15. ریخت پوششی منظم
فرض کنید H و R دو گروه‌وار باشند. اگر برای تمام اشیاء x از Rو تمام عناصر r∈R(x)، همه‌ی عناصرf-1(r) طوقه باشند یا هیچکدام طوقه نباشد، ریخت پوششی f:H→Rاز گروه‌وارها را منظم می‌نامیم.
تعریف 2-16. گروه مشخصه
فرض کنید f:H→R یک ریخت از گروه‌وارها باشد. برای یک شئ x∈H0، زیرگروهf(H(x)) ازR(f(x)) گروه مشخصه ی fدر xنامیده می‌شود.
نتیجه 2-17. اگرf ریخت پوششی باشد، آن‌گاه f، H(x)را به ‌طور یکریخت به f(H(x))می‌نگارد.
برهان. چونf یک ریخت پوششی است پس fx:StHx→StRf(x)دوسویی است. اگر fxرا به H(x)تحدید کنیم، fH(x):H(x)→f(H(x))یک نگاشت دوسویی است. از طرفی چون عمل گروه شی‌ای را همان عمل گروه‌وار تعریف می‌کنیم و fنیز یک ریخت گروه‌واری است پسfboa=fbof(a)، یعنی fهمریختی گروهی نیز می‌باشد. بنابراین fH(x):Hx →fHxیک همریختی یک‌به‌یک و پوشاست، پس یکریختی می‌باشد.
تعریف 2-18. ریخت پوششی جهانی
فرض کنید H و R دو گروه‌وار باشند. اگرH هرپوششR را بپوشاند، یعنی اگر برای هر ریخت پوششی a:A→Rیک ریخت پوششی یکتای aʹ:H→A ازگروه‌وارها موجود باشد به‌‌طوری‌کهaoaʹ=f، آن‌گاه ریخت پوششی f:H→Rاز گروه‌وارهای متعدی، ریخت پوششی جهانی نامیده می‌شود.
تعریف 2-19. زیرگروه‌وار
یک زیرگره‌وار از گروه‌وار،(R,R0) یک جفت (Rʹ,Rʹ0) از زیرمجموعه‌ها می‌باشد که Rʹ⊆R، Rʹ0⊆R0 و شرایط زیر برقرار باشد:
1-1( )(Rʹ0)⊆R ʹ،α(Rʹ)⊆Rʹ0 و .βRʹ⊆Rʹ02- برای هرa,b∈Rʹاگرaob تعریف شده باشد، آن‌گاه aob∈Rʹ. یعنی Rʹتحت عمل ترکیب بسته باشد.
3- برای هر a∈Rʹ، a-1∈Rʹباشد.
مثال 2-20.اگر (R,R0) یک گروه‌وار باشد، مجموعه‌ی 1( )R0=1xx∈R0یک زیر گروه‌وار ازR روی R0 می‌باشد، زیرا
Rʹ=10R0 , Rʹ0=R0
بنابراین
Rʹ0⊆R0 , Rʹ⊆R
1- 1( )Rʹ0=1( )R0⊆1( )R0=Rʹو همچنین داریم:
αRʹ=α1( )(R0)=R0⊆R0
و
βRʹ=β1( )(R0)=R0⊆R0
2- فرض کنید 1×1,1×2∈Rʹو 1x1o1x2تعریف شده باشد. در این‌صورت داریم:
α(1×1)=β(1×2)
بنابراین x1=x2، پس 1×1=1×2.
درنتیجه
1x1o1x2=1x1o1x1=1×1∈Rʹ
3- فرض کنید1x∈Rʹ، داریم:
1xo(1x)-1=1β(1x)=1x=1xo1x
با قرار دادن r=1xوj=1x، طبق گزاره2-3،قسمت4، چون1x=1x01x
بنابراین 1x=(1x)-1. لذا (1x)-1∈Rʹ.
هموتوپی مسیرها در گروه‌وار:
هموتوپی بین دو مسیر در گروه‌وار به دو دسته تقسیم می‌شود:
1- هموتوپی به طول q، بین دو مسیرa و bازx به y با طول‌های یکسان.
2- هموتوپی بین دو مسیرa و b ازx به yبا طول‌های متفاوت. در این موردa وb را اصطلاحا ً دو مسیر هم‌ارز می‌گوییم.
تعریف 2-21. هموتوپی به طول qفرض کنیم a و b دو مسیر ازx به y، با طول‌های مساویr هستند. یک هموتوپی به ‌طول qاز aبه bتوسط تابع پیوسته‌یF به‌صورت زیر تعریف می‌شود:
F:0,r×0,q→X
به ‌طوری‌که
Fs,0=as , Fs,q=bs s∈0,rهر برای
F0,t=x , Fr,t=y t∈0,qهر برای
توجه داشته باشید که برای هر tدر 0,q، مسیرFt:S→Fs,t یک مسیر درπX(x,y) می‌باشد. در واقع می‌توانیم خانواده‌ی Ftرا به عنوان یک “خانواده‌ی پیوسته از مسیرها” بین F0=aو F1=bدر نظر بگیریم.
بنابراین ما نماد F:a~bرا به عنوان هموتوپی ازa به bاستفاده می‌کنیم.
گزاره 2-22. رابطه‌ی هموتوپی از طول q، یک رابطه‌ی هم‌ارزی می‌باشد.
برهان. خاصیت بازتابی :همواره یک هموتوپی یکتا به طول صفر از a به a وجود دارد.
خاصیت تقارنی: اگرF:a~b یک هموتوپی به طول qباشد، آن‌گاه -Fکه توسط -Fs,t=F(s,q-t)تعریف می‌شود یک هموتوپی ازb به aمی‌باشد.
خاصیت تعدی: اگر F:a~b و G:b~cبه ترتیب دو هموتوپی به طول‌های qوqʹ باشند، جایی‌که a، bوc ، مسیرهایی به طول rاز xبه y هستند، آن‌گاه جمع FوG به صورت زیر تعریف می‌شود:
G+F:0,r×0,q+qʹ→X (s,t)→Fs,t if 0≤t≤qGs,t-q if q≤t≤q+qʹدر t=q داریم:
Fs,q=bs , Gs,t-q=Gs,q-q=Gs,0=b(s)بنابراین چون F(s,t) و G(s,t-q)پیوسته و درt=q نیز Fs,t=G(s,t-q)، پس بر اساس لم چسب،G+F پیوسته می‌باشد.
همچنین برای هرt∈0,q+qʹ، داریم:
G+Fs,0=Fs,0=as
و
G+Fs,q+qʹ=Gs,q+qʹ-q=Gs,qʹ=c(s)و s∈0,rهر برای داریم:
G+F0,t=x , G+Fr,t=yبنابراینG+F:a~c .■
نکته 2-23. فرض کنیدF:0,r×0,q→X یک هموتوپی به طول qازa به bباشد به طوری‌کهa وb مسیرهایی ازx بهy به طول rمی‌باشند، آن‌گاه یک هموتوپی Fʹ:a~bبه طول 1 وجود دارد که آن را به شکل زیر تعریف می‌کنیم:

Fʹ:0,r×0,1→X (s,t)→F(s,qt)
برای هرs∈0,r، داریم:
Fʹs,0=Fs,0=as , Fʹs,1=Fs,q=b(s)و برای هر t∈0,1، چون 0≤qt≤q، داریم:
Fʹ0,t=F0,qt=x , Fʹr,t=Fr,qt=yتوجه 2-24. برای هر عدد حقیقی r≥0 و x∈X،فرض کنیدrx، نماد یک مسیرثابت درx به طولr باشد. بدون از دست دادن کلیت مسئله،rx را با r نشان می‌دهیم.
بنابراین برای هر مسیرa و r≥0، مسیرهایa+r و r+a خوش تعریف می‌باشند.
گزاره 2-25. فرض کنید aوb دو مسیر ازx بهy وc وd دو مسیر ازy به z‌باشند جایی‌که a= bوc=d.

Related posts: