user8200- دانلود پایان نامه فارسی

Please enter banners and links.

3-3-2-بررسی تابع چندکی Qu,p توسط چندک های Q(u)……………………………………….25
3-4-نتیجه گیری………………………………………………………………………………………………………………………26
فصل چهارم: چندک های چند متغیره داده ای بر اساس شیب……………..27
4-1-مقدمه………………………………………………………………………………………………………………………………..28
4-2-بکارگیری روش شیب در بدست آوردن چندک های چند متغیره………………………………….28
4-3-آماره ی آزمون علامت………………………………………………………………………………………………………29
4-3-1-آماره آزمون علامت برای حالت تک متغیره………………………………………………………………..29
4-3-2-آماره آزمون علامت برای حالت چند متغیره………………………………………………………………30
4-3-2-1-آماره آزمون علامت فضا در حالت یک متغیره……………………………………………………….31
4-4-میانه جهت داده شده به تابع چندکی بر اساس روش شیب………………………………………….32
4-5-نتیجه گیری…………………………………………………………………………………………………………………….32
فصل پنجم: چندک تعمیم یافته………………………………………………………..33
5-1-معرفی Up به عنوان چندک تعمیم یافته…………………………………………………………………34
5-1-1-حجم ناحیه های مرکزی به عنوان یک تابع چندکی…………………………………………………35
5-1-2-منحنی های لورنز به عنوان توابع چندکی تعمیم یافته……………………………………………37
5-1-3-چندک های سطوح تابع عمق……………………………………………………………………………………..39
فصل ششم: آماره های مکان و مقیاس درRd………………………………………41
6-1-مقدمه……………………………………………………………………………………………………………………………….42
6-2-آماره مکانی L در Rd……………………………………………………………………………………………………42
6-2-1-آماره مکانی L براساس توابع چندکی……………………………………………………………………….42
6-2-2-آماره مکانی L براساس توابع عمق…………………………………………………………………………….43
6-2-3-آماره L مکانی براساس چندک های M…………………………………………………………………….46
6-3-آماره های مقیاس برای آنالیز چند متغیره………………………………………………………………………46
6-3-1-آماره های مقیاس ماتریس مقدار براساس میانه ی جهت داده شده به توابع چندکی …………………………………………………………………………………………………………………………………………………..47
6-3-2-آماره های مقیاس ماتریس مقدار براساس توابع عمق………………………………………………..47
فصل هفتم: شبیه سازی……………………………………………………………………48
7-1-مقدمه………………………………………………………………………………………………………………………………49
7-2-شبیه سازی روش تابع عمق…………………………………………………………………………………………..49
7-2-1-روش تابع عمق با استفاده از توزیع نرمال…………………………………………………………………49
7-2-2-روش تابع عمق با استفاده از توزیع نمایی………………………………………………………………..52
7-2-3-روش تابع عمق با استفاده از توزیع یکنواخت………………………………………………………….54
7-3-شبیه سازی منحنی مقیاس………………………………………………………………………………………….56
7-3-1-شبیه سازی منحنی مقیاس توزیع مستطیلی…………………………………………………………56
7-3-2-شبیه سازی منحنی مقیاس توزیع نرمال دو متغیره………………………………………………58
منابع……………………………………………………………………………………………..60
پیوست………………………………………………………………………………………….65
فهرست شکل ها
عنوان و شماره صفحه
شکل 1-1-چندک p ام وقتی نمودار تابع توزیع اکیدا پیوسته باشد………………………………………3
شکل 1-2-چندک p ام وقتی نمودار تابع توزیع دارای قطعه افقی باشد………………………………..4
شکل 1-3-چندک p ام وقتی نمودار تابع توزیع دارای جهش باشد……………………………………….4
شکل 1-4-ناحیه ی درونی چندک p ام در حالت یک متغیره……………………………………………….6
شکل 1-5-ناحیه های درونی حول مرکز…………………………………………………………………………………7
شکل 1-6-انتخاب یک ناحیه در بین ناحیه های تودر تو که کمترین احتمال بزرگتر از p را دارد…………………………………………………………………………………………………………………………………………….8
شکل 2-1-ناحیه های درونی تودرتو برای توزیع نرمال………………………………………………………….14
شکل 2-2-ناحیه های درونی تودرتو برای توزیع نمایی…………………………………………………………14
شکل 5-1-منحنی مقیاس……………………………………………………………………………………………………….36
شکل 7-1-ناحیه های درونی نقاط تولید شده از توزیع نرمال دو متغیره با α های 1/0، 2/0 و 4/0…………………………………………………………………………………………………………………………………………..50
شکل 7-2-عمق نقاط تولید شده از توزیع نرمال دو متغیره……………………………………………….51
شکل 7-3-ناحیه های درونی نقاط تولید شده از توزیع نمایی دو متغیره با α های 025/0، 1/0، 2/0 و 4/0………………………………………………………………………………………………………………………52
شکل 7-4-عمق نقاط تولید شده از توزیع نمایی دو متغیره……………………………………………….53
شکل 7-5-ناحیه های درونی نقاط تولید شده از توزیع یکنواخت دو متغیره با α های 025/0، 1/0، 2/0 و 4/0………………………………………………………………………………………………………………………..54
شکل 7-6-عمق نقاط تولید شده از توزیع یکنواخت دو متغیره…………………………………………..55
شکل 7-7-منحنی مقیاس توزیع یکنواخت استاندارد…………………………………………………………..56
شکل 7-8-منحنی مقیاس توزیع یکنواخت روی بازه (2و0)………………………………………………57
شکل 7-9-منحنی مقیاس توزیع نرمال دو متغیره N(0,I)……………………………………………….58
شکل 7-10-منحنی مقیاس توزیع نرمال دو متغیره N(0,2I)…………………………………………59
فصل اول
مقدمه
در این فصل ما چندک و تابع چندکی را برای حالت یک متغیره تعریف کرده و سپس تابع چندکی را به حالت چند متغیره تعمیم می دهیم.
1-1- چندک مرتبه(Qp) p
فرض کنید متغیر تصادفی X دارای تابع توزیع F(.) باشد.پارامتر Qpرا چندک مرتبه p برای F(.) یا متغیر تصادفی Xمی نامیم ، هرگاه نامساوی دو طرفه زیر برقرار باشد:
PX<Qp ≤ p ≤P X≤Qp, 0 <p< 1 این نامساوی دو طرفه بدین معنی است که مقدار احتمال در فاصله باز (-∞, Qp) حداکثر p و در فاصله نیم باز (-∞,Qp] حداقلp است.
اینک به حالات خاص زیر توجه کنید:
الف. اگر F(.) پیوسته واکیداً صعودی باشد، یعنی نمودار آن دارای خطوط افقی یا جهش نباشد، آنگاه نامساوی بالا تبدیل به تساوی FQp=p شده و در این حالتQp پاسخ یکتای معادله زیر خواهد بود:
FQp=-∞Qpfxdx .شکل (1-1) به خوبی بیانگر این موضوع می باشد.

شکل (1-1): چندک p ام در یک توزیع پیوسته وقتی نمودار تابع توزیع اکیدا پیوسته باشد.
ب. اگر نمودار F(.) شامل یک یا چند خط افقی باشد، ممکن است Qp برای بعضی از مقادیر p یکتا نباشد. به عنوان مثال در شکل (1-2) تمام نقاط بازه ی q1,q2 می تواند به عنوان چندک Qp تفسیر شود.

شکل (1-2): چندک p ام وقتی نمودار تابع توزیع دارای قطعه افقی باشد.
ج. اگر F(.) در یک یا چند نقطه دارای جهش باشد، ممکن است Qpبرای بعضی از مقادیر متفاوت pیکسان باشد. برای درک بهتر موضوع به شکل زیر توجه کنید.

شکل (1-3): چندک p ام وقتی نمودار تابع توزیع دارای جهش باشد.
1-2-1- تابع چندکی جهت یافته از میانه در حالت یک متغیره
چندک p ام یک تابع توزیع تک متغیره ی F، F-1p می باشد. میانه m توسط F-112 محاسبه می شود و برای0<p<1 نقاطF-11-p2 و F-11-1-p2 بازه ای به فرم رابطه (1-1) را شکل می دهند که مجموع احتمال در خارج از بازه، 1-p باشد. این دیدگاه ما را به سمت تعریف ناحیه درونی چندک p ام به صورت
(1-1) F-11-p2,F-11-1-p2
هدایت می کند که به وضوح دارای احتمال p است.
به عنوان مثال به ازای p=12 ناحیه ی درون چارکی تشکیل می شود و با میل دادن p به سمت صفر میانه حاصل خواهد شد. وقتی که بین p و p رابطه ی p=2p-1 برقرار باشد دو مقدار p به صورت زیر بدست خواهد آمد:
p=1-p2 , p=1+p2F-1 p های حاصل به عنوان نقاط مرزی ناحیه درونی چندک p ام تلقی خواهند شد.
ناحیه ی درونی چندک p ام برای 0<p<1 اطلاعات چندک برای توزیع F را به صورت کامل مشخص می کند. یک ویژگی بارز این ناحیه، تودرتو بودن آن است، بدین معنی که به ازای 0<p1<p2<1 ناحیه درونی چندک p1 ام زیر مجموعه ناحیه درونی چندک p2 ام است.
برای یکسان سازی نمادها، با توجه به وجود تنها دو جهت در R، u=±1، تابع چندکی جهت یافته از میانه Qu,p را به صورت زیر تعریف می کنیم:
Qu,0≡m
Q-1,p=F-11-p2
Q+1,p=F-11-1-p2شکل زیر ناحیه ی درونی چندک p ام در حالت یک متغیره را نشان می دهد.

شکل (1-4): ناحیه ی درونی چندک p ام در حالت یک متغیره
در شکل (1-4) نقاط Q(-1,p) و Q(+1,p) نقاط مرزی هستند که ناحیه ی درون این بازه دارای احتمال p و ناحیه ی خارج این بازه دارای احتمال 1-p می باشد.
1-2-2- تابع چندکی جهت یافته از میانه در حالت چند متغیره
برای تعریف تابع چندکی Q(u,p) در حالت چند متغیره نیازمند تعریف میانه هستیم. روش های مختلفی برای محاسبه میانه در حالت چند متغیره وجود دارد (به عنوان مثال در بخش 2-2 به روش تابع عمق اشاره خواهد شد) حالا فرض می کنیم که میانه ی m داده شده است و u∈Sd-1m که Sd-1m به صورت زیر تعریف می شود:
Sd-1m=x1,…,xd : x12+…+xd2=1.همچنین فرض می کنیم خانواده ی A=Aγ , 0<γ<∞ که در آن برای 0<γ<γ <∞، Aγ⊂Aγ و A0=limγ→0Aγ=m است، شامل ناحیه های تودرتو حول mباشد. تابع چندکی جهت یافته از میانهQ(u,p) به سادگی با شاخص گذاری هر نقطه روی کران Aγ ساخته می شود که به صورت مبسوط مورد بررسی قرار خواهد گرفت.
شکل زیر، ناحیه های درونی را نشان می دهد که همگی حول مرکز یعنی میانه واقع شده اند.

شکل (1-5): ناحیه های درونی حول مرکز به طوریکه γ<γ با مشخص کردن نقاط روی ناحیه های مرزی Aγ و Aγ تابع چندکی جهت یافته از میانه حاصل می شود. به طور دقیق تر برای p∈0,1، γp=infγ :PAγ>p تعریف می شود و آنگاه Q(u,p) توسط نقطه ی مرزی Aγp در جهت u از m مشخص می شود و Aγp یک ناحیه ی درونی چندک p ام را ارائه می کند. کرانه های ∂A، که کانتور نامیده می شود، تفسیر های مفیدی را به عنوان تابع چندکی جهت یافته از میانه دارند. ایده های متفاوت از میانه ی m و شکل های متفاوت برای ناحیه های Aγ ما را به فرم های متفاوت تابع چندکی، سوق می دهند.

شکل (1-6): انتخاب یک ناحیه در بین ناحیه های تودر تو که کمترین احتمال بزرگتر از p را دارد.
شکل (1-6) ناحیه های تودرتو را نشان می دهد و در اینجا Aγp ناحیه ای را نشان می دهد که در بین ناحیه های دیگر کمترین احتمال بزرگتر از p را دارد و به این ناحیه، ناحیه ی درونی چندک p ام گفته و به کرانه های Aγp کانتور می گوئیم.
خواص تابع چندکی جهت یافته از میانه Q(u,p) در زیر بیان شده است:
1- برای هر ثابت p∈[0,1) و به ازای همه ی u ها، مجموعه Qu,t:0≤t≤p شامل یک ناحیه ی درونی چندک p ام با نقاط مرزی Q(u,p) و میانه Qu,0≡m می باشد.
2- برای هر جهت u از m فاصله ی Qu,p-m نسبت به p افزایشی است، که در آن . نشان دهنده نرم اقلیدسی است.
3- ناحیه های درونی چندک p ام یا Qu,t:0≤t≤p به ازای همه ی u ها دارای ساختار و تفسیر مناسبی است.
برای راحتی کار، از این به بعد به جای نام کامل تابع چندکی جهت یافته از میانه، به اختصار از تابع چندکی نام می بریم.
فصل دوم
چندک ها بر اساس تابع عمق
2-1- مقدمه
همانگونه که قبلا متذکر شدیم، توسیع مفهوم چندک به داده های چند بعدی می تواند از چند منظر صورت گیرد، ما در این فصل این مفهوم را با استفاده از تابع عمق گسترش می دهیم. بدین منظور ابتدا تابع عمق را تعریف کرده و سپس با معرفی یک تابع عمق خاص به نام تابع عمق نیم فضا و به کارگیری آن، مفهوم چندک را برای متغیرهای چند بعدی معرفی می کنیم.
2-2- تابع عمق
تابع حقیقی مقدار و غیر منفی D(x) که بر روی Rd تعریف شود و یک مفهوم مرکزی و ترتیبی روی Rd ایجاد کند را یک تابع عمق گویند. منظور از مفهوم مرکزی و ترتیبی این است که بتوان نقطه مرکزی داده ها را مشخص کرده و ترتیبی برای داده ها در نظر گرفت. مرکز نقطه ای است که بیشترین عمق را دارا باشد. در صورت وجود چند نقطه با بیشترین عمق، میانگین این نقاط را مرکز می گیرند. با فاصله گرفتن از نقطه مرکزی عمق نقاط کاهش یافته و لذا یک رابطه ترتیبی در Rd ایجاد می شود. لازم به ذکر است که توابع عمق متفاوتی وجود دارد و ما در این پایان نامه از تابع عمق نیم فضا بهره می جوئیم که در ادامه به آن اشاره می شود.
2-2-1- تابع عمق آماری
فرض کنیدF یک تابع توزیع باشد. هر تابع D(x,F) که یک مفهوم مرکزی و ترتیبی روی Rd بر اساس F ایجاد می کند را یک تابع عمق آماری گویند.
فرض کنید D(x,F) یک تابع عمق آماری باشد. اگر به جای x یک متغیر تصادفی قرار گیرد آنگاه تابع توزیع متغیر تصادفی DX,F به صورت معمول زیر تعریف می شود:
FDy=PDX,F<y , y>0 .2-2-1-1- ناحیه ی درونی عمق α
فرض کنید D(.,F) یک تابع عمق آماری باشد. ناحیه ی درونی عمق α به صورت
Iα,D,F=x: Dx,F> α , α>0معرفی می شود. لازم به ذکر است که I(0,D,F)=Rdدر ادامه یک تابع عمق آماری را ارائه و مفهوم تابع چندکی را توسط آن بیان می کنیم.
2-2-1-2- تابع عمق نیم فضا
وقتیکه H یک نیم فضای بسته Rd باشد، تابع عمق نیم فضا به صورت زیر تعریف می شود:
HDx,F= inf PH , x∈H.
برای روشن تر شدن مفهوم تابع عمق نیم فضا، d=2 را در نظر بگیرید. یک صفحه به صورت های مختلفی به نیم صفحه افراز می شود. HD(x,F) نیم صفحه ای را برمی گزیند که کمترین احتمال پوشش نقطه x را داشته باشد.
2-2-1-2-1- ناحیه ی درونی عمق نیم فضا
فرض کنید P یک تابع احتمال رویRd باشد. در صورتیکه H یک نیم فضای بسته Rd باشد، ناحیه ی درونی عمق نیم فضا به صورت زیر تعریف می شود:
Iα,HD,F=∩H: PH>1-α. برای مثال، فرض کنید d=2 است، آنگاه I(α,HD,F)ناحیه ای است که بین تمام نیم صفحه هایی که احتمال آنها از 1-α بزرگتر است، مشترک است.
شکل (2-1)، I(α,HD,F) را برای توزیع نرمال دو متغیره با α های متفاوت و شکل (2-2)، I(α,HD,F) را برای توزیع نمایی دو متغیره با α های متفاوت نشان می دهد.

شکل (2-1): ناحیه های درونی تودرتو برای توزیع نرمال دو متغیره

شکل (2-2): ناحیه های درونی تودرتو برای توزیع نمایی دو متغیره
2-2-1-3- ناحیه ی مرکزی p ام
بیشترین عمق کرانه ای که دارای ناحیه های درونی با احتمال بزرگتر یا مساوی p است را توسط αp نشان می دهیم. لازم به ذکر است که کرانه همان کانتور است.
(2-1) .αp=supα :PIα,D,F≥pبا توجه به تعریف، چون Iα,D,F نسبت به α نزولی است بنابراین وقتی α به αp صعود می کند ناحیه ی Iα,D,F بهI(αp ,D,F) نزول می یابد و داریم:
PIαp,D,F=limα↑αpPIα,D,F≥p .
درستی رابطه فوق در زیر توضیح داده شده است.
فرض کنید FD یک تابع توزیع پیوسته با عمق α باشد، داریم:
(2-2) P(I(α,D,F))=1-FDα
و اگر FD اکیدا صعودی باشد با توجه به روابط (2-1) و (2-2) خواهیم داشت:
FDαp=1-p → αp=FD-11-p .
اما در حالت کلی یعنی اگر شرط اکیدا صعودی را نداشته باشیم آنگاه:
FDαp≥1-pPIαp,D,F=limα↑αpPIα,D,F≥1-1-p=pبا توجه به توضیحاتی که گفته شد، کوچکترین ناحیه ی درونی با احتمال بزرگتر یا مساوی p وجود دارد که توسط C(p,D,F)=I(αp,D,F) نمایش داده می شود و ناحیه ی مرکزی p ام نامیده می شود.
2-2-1-4- ناحیه ی بیرونی p ام
برای هر α≥0 ناحیه ی بیرونی O(α,D,F) را توسط رابطه ی زیر تعریف می کنیم:
Oα,D,F=x: Dx,F≤α∩suppF .
که در آن منظور از suppF، تکیه گاه F می باشد.
کمترین عمق کرانه ای که احتمال ناحیه ی بیرونی بزرگتر از p دارد را توسط αp نشان می دهیم:
αp=infα :POα,D,F>p .با توجه به اینکه P(O(α,D,F))=FDα، بنابراین داریم:
FDαp=p,
و در نتیجه
αp=FD-1p.
تعریف2-1- کانتور عمق
به کرانه ∂Iα,D,F یعنی نقاط مرزی Iα,D,F ، کانتور عمق می گوئیم. علت این نامگذاری این است که ناحیه های درونی بر اساس تابع عمق ساخته شده اند.
2-2-1-5- سطوح چندکی بر اساس عمق
برای 0<p<1 کانتور عمق αp را به عنوان تابع چندکی ای می توان تفسیر کرد که با استفاده از رابطه ی
Qp,D,F=∂Iαp,D,F=∂Cp,D,F,مشخص می شود و آن را سطح چندک p ام می نامیم.
حالا با مشخص کردن نقاط رویQ(p,D,F) در جهت u از m یک تابع چندکی Q(u,p) حاصل می شود که در آن u∈Sd-1m می باشد و شرط 1و2 تابع چندکی که در بخش 1-2-2 بحث شد را دارد.
ناحیه های درونی چندک p ام به آسانی به عنوان ناحیه های مرتبط با عمق بالاتر تفسیر می شوند که نقاط مرزی دارای عمق αp و نقاط درونی دارای عمق بزرگتر یا مساوی αp هستند. بدین صورت شرط سوم تابع چندکی، گفته شده در بخش 1-2-2، نیز به خوبی حاصل می شود. با استفاده از توابع عمق متفاوت، نسخه های متفاوت توابع چندکی حاصل می شوند.
2-3- نتیجه گیری
در این فصل تابع چندکی را بر اساس تابع عمق بدست آوردیم و هر سه خاصیت تابع چندکی، گفته شده در بخش 1-2-2 نیز برقرار بودند. از اینرو تابع عمق در بدست آوردن تابع چندکی بسیار کارا است. در ضمن می دانیم که تابع چندکی ویژگی های خوب بسیاری را در اختیار ما می گذارد که می توانیم از طریق آنها چندک های چند متغیره را بطور مناسبی پیدا کنیم.
فصل سوم
چندک های چند متغیره براساس مینیمم کردن نرم
3-1- مقدمه
فرگوسن در سال 1967 با مینیمم کردن رابطه
(3-1) E{|Z-θ|+(2p-1)(Z-θ)}نسبت θ، چندک تک متغیره معمولی را بدست آورد. در سال 1992 ابدوس و تئودورس و در سال 1996 چادوری به طور متفاوت، رابطه (3-1) را به چند متغیره بسط داده اند. در این فصل ما این دو روش متفاوت از توسیع (3-1) برای حالت چند متغیره را معرفی کرده و برای هر روش، وجود تابع چندکی را مورد بررسی قرار می دهیم.
3-2-1- روش ابدوس و تئودورس (1992)
از آنجا که در رابطه (3-1) تابع قدر مطلق بکار گرفته شده است یک تعمیم طبیعی این می باشد که در فضای با بعد بالاتر به جای قدر مطلق از یک نرم خاص استفاده شود. ابدوس و تئودورس در سال 1992 برای 1≤r≤∞ و 0<p<1 تابع نرم را بدین صورت تعریف کردند:
xr,p=x1,…,xdr,p=x1+2p-1×12,…,xd+2p-1xd2r که در آن .r نرم اقلیدسی Lr رویRd است که می توان فرم های مختلفی را برای آن در نظر گرفت ولی در این پایان نامه به فرم زیر محاسبه می شود:x=xir1rچندک p ام، θr,p، زمانیکه x∈Rd باشد از مینیمم کردن X-θr,p-X r,p E، بدست می آید. بنابراین برای هر r در نرم Lr، چندک های برداری تعریف شده هم جهت و هم بزرگی (مقدار) دارند و توسط p∈(0,1) دسته بندی می شوند و برای ثابت r، با در نظر گرفتن متغیر p در بازه 0,1 و قرار دادن θr,p به عنوان تابع مورد نظر یک رویه در Rd با چندک های مرکزی و انتهایی متناظر با کوچکترین و بزرگترین مقدار p-12، p=0,12، تولید می شوند که در بخش 3-2-2 بیشتر به آن خواهیم پرداخت. به عنوان حالت خاص اگر r = 1 و d=1 باشد، آنگاه:
EX-θ1,p-X1,p=12EX-θ+2p-1X-θ-X-2p-1X=12EX-θ+2p-1X-2p-1θ-X-2p-1X=12EX-θ-X-2p-1θ(3-2) =12-∞∞x-θ-xfxdx –(2p-1)θباید (3-2) را روی θ مینیمم کنیم، بنابراین از این رابطه مشتق می گیریم و چون تابع داخل انتگرال نامنفی و پیوسته است، مشتق را وارد انتگرال می کنیم:
ddθ12-∞∞x-θ-xfxdx –(2p-1)θ= 12-∞∞ddθx-θ-xfxdx-(2p-1)=12-∞∞ddθx-θ fxdx-2p-1=12-∞θddθθ-xfxdx+θ∞ddθx-θfxdx-2p-1=12-∞θfxdx+θ∞-fxdx-2p-1از برابر صفر قرار دادن عبارت حاصل خواهیم داشت:
12-∞θfxdx+θ∞-fxdx-2p-1=0→Fθ-1-F(θ)-2p-1=0→Fθ=p→θ=F-1p ام pچندکبنابراین، در فضای یک بعدی با مینیمم کردن θ در رابطه 3-2 چندک p ام بدست می آید. با تعمیم این روند به فضای چند بعدی، چندکهای چند متغیره حاصل می شود.
برای r = 1 ، θ1,p را بردار چندک های p ام تک متغیره کناری می نامیم. برای r=2 ، به θ2,0.5 میانه ی فضایی گفته می شود.

3-2-2- بررسی تابع چندکی Qu,p توسط چندک های θr,pدر این بخش وجود تابع چندکی Qu,p توسط چندک های θr,p برای r ثابت را بررسی می کنیم. بنابراین ابتدا از میانه که در اینجا Qu,0=θr,0.5=m می باشد به عنوان نقطه ی شروع فرمول تابع چندکی استفاده می کنیم. متاسفانه یک خانواده از ناحیه های درونی تودرتو دیده نمی شود. برای مثال، مجموعه های Ar,t=θr,s:s-12≤t برای 0≤t<12 را در نظر بگیرید. برای r ثابت، Ar,t یک منحنی در Rd است. بنابراین برای r ثابت منحنی دارای ساختار تودرتو نمی باشد، یعنی اینکه برای ساختن تابع چندکی بایستی میانه، که در اینجا θr,0.5 می باشد مرکز واقع گردد و با جهت دادن از مرکز، ناحیه های تودرتو شکل بگیرد و همگی حول مرکز واقع گردند که در اینجا چنین چیزی رخ نمی دهد. به عبارت دیگر، احتمال اینکه ناحیه ی درونی چندک p ام اتفاق بیفتد صفر است و بنابراین خواص 1و3 گفته شده در بخش 1-2-2 را دارا نمی باشد. در نتیجه، نمی توانیم یک تابع چندکی Qu,p توسط چندک های θr,p داشته باشیم.
3-3-1- روش چادوری
چادوری در سال 1996، رابطه (3-1) را از طریق یک تفسیر متفاوت به Rd بسط داده است. ابتدا (3-1) را به شکل دیگری باز نویسی می کنیم:
EZ-θ+u(Z-θ)که در آن u = 2p-1 می باشد. بنابراین چندک p ام برای p∈(0,1) توسط u∈(-1,1) دسته بندی می شود. با توسیع u به حالت چند متغیره، کره ی واحد بازBd-10 حاصل می شود و توسط آن چندک های d بعدی تشکیل می شوند.
روش چادوری در بدست آوردن چندک چند متغیره به صورت زیر می باشد:
چندک u امQ(u) ، x∈Rd، حاصل می گردد هرگاهQ(u) ، ϕ(u,X)}-u,X-θ)) ϕ} Eرا می نیمم کند که در اینجا ϕu,t=t+<u,t> می باشد که در اینجا منظور از <.,.> ، ضرب داخلی روی فضای Rd می باشد.
در مقایسه با روش ابدوس و تئودورس برای حالت نرم L2 ما دوباره چندک های برداری داریم که هم جهت و هم بزرگی (مقدار) دارند و میانه ی فضایی، مرکز را ایجاد می کنند یعنی Q(0) مبدا است، بنابراین Q(0)= θ2,12 .
نقاط در Rd غیر از m تحت این دو سیستم چندکی تفسیرهای متفاوتی دارند.
برای مقایسه ی بهتر روش چادوری با روش ابدوس و تئودورس، تابع زیان یک متغیره Lu,t=t+ut که در آن u∈-1,1 t∈R , هستند را در نظر می گیریم. ابدوس و تئودورس با تعمیم L2p-1,t ، t∈R، به حالت چند متغیره با استفاده از نرم L2 به فرم L2p-1,t1,…,L2p-1,tdکه همان نرم اقلیدسی است، برای p∈0,1 و t=t1,…,td∈Rd، چندک p ام در Rd را بدست آوردند. اما چادوری در سال 1996 چندک u ام )برای (u∈Bd-10 در Rd را با تعمیم L(u,t) به ϕ(u,t)، t∈Rd ,u∈Bd-10 بدست آورد.
چادوری چندک Q(u)را برای حالت u=0، چندک مرکزی و برای حالت =1 u چندک انتهایی نامید.وقتی n مشاهده داشته باشیم، u میزان انحراف Qnuاز مرکز m را ارائه می دهد. دراینجا با ذکر چند نکته این موضوع را روشن می کنیم.
الف- میزان انحراف به صورت فاصله اقلیدسی بین Q(u) و mنیست.
ب- فاصله از m بطور یکنواخت درu افزایش نمی یابد.
ج- برای d≥2 اندازه u تفسیر احتمالی ندارد. اما در حالت یک متغیره با در نظر گرفتن u=2p-1 تفسیر احتمالی خواهد داشت.
د- در حالیکه ناحیه ی Q(u): u <0.5 در حالت یک متغیره برای ≤p≤34 14 (یعنی ناحیه ی درون چارکی) با چندک p ام ارتباط دارد، برای 2 d≥ در ارائه چنین تعبیری، که در ادبیات از آن با عنوان نیمه میانی یاد می شود، ناتوان است.
حال با ارائه مثالی در حالت یک متغیره به بررسی خواص ذکر شده می پردازیم.
مثال 3-1:
F=0.5F1+0.5F2 را در نظر بگیرید، که F2 و F1 به ترتیب توزیع های یکنواخت(مستطیلی) روی 0,1 و -100,0 هستند. در این صورت:
Fx=0 x<-1000.5F1x -100≤x<00.5+0.5F2x 0≤x<11 x≥1 آنگاه m=0 و چون u=2p-1 درنتیجه Q(u) برای u های مختلف به شکل زیر می باشد:
Q0.5=F-10.75=0.5
Q-0.5=F-10.25=-50 Q-0.1=F-10.45=-10در اینجا دو چندک Qn±u که Q برآورد Q است، با u=0.5 را محاسبه کردیم که انحراف از m به وضوح دیده می شود و نشان دهنده ی نکته ی الف می باشد. دو چندک Qnuو Qnu برای u=-0.1<0.5=u بصورت Qnu=10>0.5=Qnu می باشد که نشان دهنده ی نکته ب می باشد.
3-3-2- بررسی تابع چندکی Qu,p توسط چندک های Q(u)
در این بخش وجود تابع چندکی Qu,p با استفاده از Q(u) را مورد بررسی قرار می دهیم. بدین منظور ابتدا از میانه یعنیQu,0= Q0=m ، شروع می کنیم. برای مثال مجموعه های Bt= Qu :u <t برای 0≤t<1 را در نظر می گیریم. این مجموعه ها به طور طبیعی ناحیه های درونی تو در تو را ایجاد می کنند.
با قرار دادن tp=inft:P(Bt)≥p و جهت uاز m، نقاط کرانه ای Btp ( برای Q(u ) هایی که u =tp) یک تابع چندکی Qu,p را ایجاد می کند که شرایط 1 و 2 تابع چندکی را دارا است. بطور خاص، این موضوع توسط یک ناحیه درون چارکی با حجم داده شده، به عنوان یک مثال از برد میان چارکی تک متغیره، به آسانی دیده می شود. به هر حال، پارامترهایu و u بکارگرفته شده در Q(u ) و Qu,p دارای یک مضمون نمی باشند. لذا، نمی توانند به خوبی از عهده تفسیر ویژگی 3 ذکر شده در بخش 1-2-2 برآیند. به عبارت دیگر ارتباط بین پارامترهای u در Q(u ) و پارامترهایu,p برایQu =Qu,p مبهم می باشد که تفسیر سختی از ناحیه درونی چندک p ام Btp بعنوان یک مجموعه در Rd می سازد . اگرچه u بعنوان یک مدلی از اندازه زیرین یا تودرتو بودن، تفسیر می شود. اما شرط 3 از شرایط تابع چندکی گفته شده در بخش 1-2-2 برقرار نمی باشد.
یک خاصیت قوی: در نظر بگیرید Qn(u) برای یک سری داده x1,…,xn محاسبه می شود و فرض کنید برای u داده شده و 1≤i≤n ،Qn(u)≠xi باشد آنگاه:
-1ni=1nxi-Qnu / xi-Qn(u)=uدر اینجا نتیجه می شود که Qn(u) تنها از طریق بردار جهت u به xi ها وابسته است. بنابراین اگر نقاط xi در امتداد شعاعشان نسبت به Qn(u) به طرف بیرون حرکت کنند، مقدار Qn(u) برای u ثابت، ثابت باقی می ماند.
3-4- نتیجه گیری
در این فصل با استفاده از دو روش متفاوت در بسط رابطه 3-1، چندک چند متغیره را محاسبه کردیم. روش ابدوس و تئودورس در بدست آوردن تابع چندکی ناموفق بود. ولی با استفاده از روش چادوری تابع چندکی بدست آمد. اما به دلیل اینکه ویژگی سوم تابع چندکی حاصل نشد، تابع چندکی بدست آمده خیلی مفید نیست.
فصل چهارم
چندک های چند متغیره داده ای براساس شیب
4-1- مقدمه
برای داده های تک متغیره x1,…,xn میانه، عبارت Dθ=xi-θ را مینیمم می کند و با حل Sθ=-sgnxi-θ=0 که در آن
sgnx=1x≥00x<0, و Sθ مشتق Dθ می باشد، بدست می آید. تابع Sθ را می توانیم به عنوان چندک تفسیر کنیم. در این فصل با ذکر چند مثال، چندکهای چند متغیره را بر اساس روش مشتق گیری مورد بررسی قرار می دهیم.
4-2- بکارگیری روش مشتق گیری در بدست آوردن چندک های چند متغیره
D3θ, D2θ, D1(θ) را به صورت زیر در نظر بگیرید و .r، r=1,2 ، در روابط زیر، نرم اقلیدسی Lr می باشد:
D1θ=xi-θ1D2θ=xi-θ2D3θ=1<i1<…<id<nd!Vθ,xi1,…,xidکه Vyi1,…,yid+1 حجم ساده در Rd با رئوس yi1,…,yid+1 می باشد.
با مشتق گرفتن از D3θ, D2θ, D1(θ) ، S1θ ، S2(θ) و S3(θ) حاصل می شوند که با برابر قرار دادن هر کدام با صفر به ترتیب میانه ی مولفه ای ، میانه ی فضایی و میانه ی اوجا حاصل می شوند.
تذکر آن که مشتق ها در حالت 2 d≥ بعنوان ایده های چند متغیره ی آماره آزمون علامت و چندک (بطور همزمان) تفسیر می شوند که در ادامه به آن می پردازیم.
4-3- آزمون علامت
4-3-1- آزمون علامت برای حالت تک متغیره
متغیر تصادفی پیوسته ی X~F را در نظر بگیرید و فرض کنید m میانه ی توزیع باشد ؛ یعنی PX≤m=PX≥m=12 . می خواهیم فرض H0:m=m0 را در مقابل Ha:m>m0 آزمون کنیم. حال یک نمونه ی تصادفی n تایی اختیار می کنیم و فرض می کنیم T تعداد xiهایی باشد که کمتر از m0 هستند.
یعنی می توانیم علامت xi-mi ، i=1,…,n ، را در نظر بگیریم و فرض کنیم:
تعداد علامت های منفی T=
توجه شود که واقعاً به داده های با مقیاس فاصله ای نیاز نداریم، فقط باید بتوانیم پاسخها را برحسب کوچکتر از m0 یا بزرگتر از m0 رتبه بندی کنیم.
با فرض H0:m=m0 ؛ داریم PX≤m0=PXi-m0≤0=12 بنابراین، احتمال یک علامت منفی تحت فرض صفر برابر است با p0=12. تحت فرض مقابل m1>m0 داریم:
p1=PX≤m0<PX≤m1=12بدیهی است که آماره ی T دارای توزیع دو جمله ای با پارامتر p و n بوده و به ازای m=m0،
T~BINn,p0 , p0=PX≤m0=12 .قضیه: فرض کنید X~F و Fm=12 . آزمون در سطح برای H0:m=m0 در مقابل Ha:m>m0 را در نظر بگیرید. فرض H0 را رد می کنیم اگر:
B(t,n,12)≤α
که در آن t تعداد علامت های منفی xi-m0 برای i=1,…,n است.
4-3-2- آماره آزمون علامت برای حالت چند متغیره
آزمون علامت برای آزمون فرضیات پیرامون چندکها استفاده می شود و در گذشته به دلیل اینکه در حالت چند متغیره ترتیب نقاط مشخص نبودند نمی توانستیم چندک ها را محاسبه کنیم، از اینرو نمی توانستیم از آزمون علامت برای حالت چند متغیره استفاده کنیم. در این رساله به روش های متفاوتی چندک ها را در حالت چند متغیره بدست آوردیم، بنابراین در اینجا قادر هستیم از آزمون علامت استفاده کنیم.
اگر X=x1,…,xn یک نمونه تصادفی از یک توزیع K متغیره با تابع توزیع F و تابع چگالی f باشد که حول θ متقارن است و فرض صفر را H0 : θ=0 در نظر بگیرید، آنگاه آماره آزمون به شکل زیر می باشد:
Wmn=n-mi1=1n…im=1nSxi1+…+ximکه در آن Sx={ 0 , x=0x-1x , x≠0 و m=1,2,… که عددی دلخواه می باشد. اگر m=1 باشد آنگاه آماره آزمون علامت فضا و اگر m=2 باشد آماره آزمون رتبه علامت دار فضا بدست می آید.
4-3-2-1- آماره آزمون علامت فضا در حالت یک متغیره
W1n=1ni=1nxixi=1ni=1nsgnxiکه چون xi ها حول θ متقارن هستند بنابراین تابع زیر را تعریف می کنیم:
W1nθ1n=1ni=1nsgnxi-θاز برابر صفر قرار دادن W1nθ1n، برآورد θ1n حاصل می شود و با توجه به اینکه W1nθ1n در اینجا معادل با Sθ ای هست که در ابتدای این فصل با مشتق گیری از Dθ حاصل شد بنابراین در اینجا برآورد θ1n همان میانه خواهد بود.
4-4- تابع چندکی بر اساس روش مشتق گیری
از برابر صفر قرار دادنSiθ ها، میانه حاصل می شود و همچنین S2(θ) و S3(θ) به ترتیب آماره آزمون علامت فضا و اوجا را ارائه می کنند.
در این فصل ذکر شد که در بدست آوردن چندک های چند متغیره بر اساس مشتق گیری، تنها میانه حاصل می شود که متاسفانه این روش چندک های دیگر را به ما نمی دهد. بنابراین این روش و چنین آماره های حاصل (آماره آزمون علامت فضا و آماره آزمون علامت اوجا)، با تابع چندکی مطابقت ندارند و شرایط 1تا 3 تابع چندکی،گفته شده در بخش 1-2-2، برقرار نیست و همچنین تفسیر خوبی بعنوان چندکهای چند متغیره ندارند.
4-5- نتیجه گیری
بر اساس روش مشتق گیری تنها میانه حاصل می شود و به دلیل اینکه این روش، چندک های دیگر را در بر ندارد، روش مناسبی برای ساختن تابع چندکی نمی باشد.
فصل پنجم
تابع چندکی تعمیم یافته
5-1- معرفی Up به عنوان تابع چندکی تعمیم یافته
برای یک تابع احتمال P روی Rd، زیر کلاس C از مجموعه های برل و تابع مجموعه ای حقیقی مقدار را در نظر بگیرید. تابع چندکی حقیقی مقدار U را به صورت
(5-1) Up=infc:c∈C,Pc≥p,0<p<1تعریف می کنیم. از تابع U به عنوان تابع چندکی تعمیم یافته یاد میشود. به طور خاص رفتار مجانبی Un.، که بر اساس Pn (تابع احتمال تجربی)، λ و C تعریف می شود، با توجه به توزیع مجانبی فرایند چندکی تعمیم یافته Unp-Up ، 0<p<1، مشخص می شود.
فرایند های چندکی تعمیم یافته، ضمایم مفید و درک بهتری را در ارتباط با بعضی از روش های مبتنی بر عمق در آنالیز ناپارامتری چند متغیره فراهم می کنند که در زیر چند مثال از کاربرد این روش را مورد بررسی قرار می دهیم.
5-1-1- حجم ناحیه های مرکزی به عنوان یک تابع چندکی
برای یک تابع عمق داده شده D(.,.) مجموعه های {x : D (x,F) = c } وقتیکه مقدار c کاهش می یابد به شکل کانتورهای تو در تو دیده می شوند. بنابراین می توانیم یک منحنی مقیاس را با استفاده از رسم p در مقابل S(p) بدست آوریم زمانیکه:
Sp=Vp,D,F=Volume of Cp,D,F=Vol Cp در اینجا C(p,D,F) ناحیه ی مرکزی p ام است. منحنی های مقیاس شاخصی برای تشخیص توزیع های چند متغیره می باشند. به عبارت دیگر، در مقایسه دو مجموعه از داده ها که یکی چگال تر از دیگری است منحنی مقیاس دسته چگال تر پایین تر از منحنی مقیاس دسته دیگر قرار می گیرد (به شکل 5-1 مراجعه کنید).
شکل 5-1 منحنی مقیاس در دو توزیع نرمال دو متغیره با پراکندگی های متفاوت را نشان می دهد.

شکل (5-1): منحنی مقیاس
نکته : هرچقدر پراکندگی توزیع بیشتر باشد حجم ناحیه مرکزی هم بیشتر می شود.
فرض کنید تابع عمق D(x,F) داده شده است که ترتیب نقاط x در Rd را بر اساس نقطه مرکزی توزیع F در نظر می گیرد. ناحیه های درونی مجموعه های D (.,F) ،
Iα,D,F=x:Dx,F≥α,α>0را در نظر بگیرید. یاد آور می شویم که ناحیه مرکزی که احتمال بیش از p را دارد توسط C(p,D,F) نشان داده می شود (برای توضیحات بیشتر به بخش 2-2-1-2 مراجعه کنید). فرض کنید:
F(.) و D(.,F) توابعی پیوسته هستند.
λ(I(,D,F)) تابعی کاهشی نسبت به است.
آنگاه
U(p)=infλ(I(,D,F)):P(I(,D,F))≥p=infλ(I(,D,F)):0α≤αp=λ(I(αp,D,F))=λCp,D,F, 0<p<1و از,D,F)=λ(I(,D,F)) VOL I( نتیجه می شود:
چندک تعمیم یافته U(p)=V(p,D,F)=S(p)تذکر: برای d=1 و کلاس C از نیم خط ها یعنی C=-∞,x,x∈R آنگاهλ-∞,x=x تابع چندکی یک متغیرمعمولی می باشد.
همگرایی فرایند چندکی تعمیم یافته توسط سرفلینگ در سال 2001 مورد بررسی قرار گرفته است که اثبات آن از حوصله این پایان نامه خارج است. وی نشان داده است حجم نمونه ای ناحیه مرکزی p ام بطور مجانبی نرمال با میانگین V(p,D,F) و واریانس p(1-p)V2(p)/n است، وقتیکه V(p) مشتق V(p,D,F)نسبت به p می باشد.
5-1-2- منحنی های لورنز بعنوان توابع چندکی تعمیم یافته
به طور کلی منحنی لورنز توسط رسم (F(x),λ(x)) وقتی F تابع توزیع تجمعی باشد تعریف شده است که-∞xvdF(v) (x)=1E(X) می باشد. منحنی لورنز را بصورت عکس تابع توزیع احتمال نیز می توان تعریف کرد:
LFp=1EXopF-1tdt=1EXoF-1pxdFx , o<p<1.بطوریکه F-1(t)=infV∈R:F(V)≥t. ناحیه بین منحنی لورنز و خط p Lp= را ناحیه ی تمرکز گویند.
در سال1999، لیو، پارلیوس و سینگ با تفسیر عمق به عنوان ارزش توانستند چولگی را در منحنی لورنز، که با تابع توزیع عمق FD درارتباط است، اندازه بگیرند.
هرچقدر دمهای Fچند متغیره سنگین تر شود ناحیه ی بیرونی O(,D,F) برای ثابت، احتمال بالاتری می گیرد. از طرف دیگر )=p P(D(X,F)≤. برای p ثابت هر چقدر کم شود، سنگینی دم وFD-1p کاهش می یابند و از اینرو مقدار LFD(p)برای p ثابت کم می شود. بنابراین هر چقدر دم توزیع های چند متغیره سنگین تر باشد ناحیه ی تمرکز بیشتری داریم.
نکته: توزیع های چند متغیره نسبت به سنگینی دمهایشان توسط منحنی لورنز در یک منحنی دوبعدی مقایسه می شوند.
برای تابع عمق دلخواه D(.,F) یک تابع چندکی به فرم (5-1) با کلاس C که توسط ناحیه های بیرونی ساخته می شود و (.) روی C است بصورت زیر تعریف می کنیم:
U(p)=inf(O(α,D,F)):P(O(α,D,F))≥p=inf(O(,D,F)):αp<α*=1ED(X,F)O(αp,D,F) DX,FdF=1ED(X,F)0FD-1p xdFD(x) =1ED(X,F)OpFD-1p dp= LFD(p) ,0<p<1 .به طور دقیق تر، U(p) منحنی لورنز توزیع عمق FD است.
کاربرد منحنی لورنز در اقتصاد:
وقتی در منحنی لورنز از توزیع های درآمدی، G، استفاده شود LG(p) نسبت کلی درآمد متعلق به نسبت p اشخاصی که درآمد پایینی دارند را ارائه می کند. این منحنی یک ابزار گرافیکی برای اندازه و نمایش درجه نابرابری در توزیع درآمد را فراهم می کند.
5-1-3- چندک های سطوح تابع عمق
یک تابع عمق D(x,F) داده شده، اطلاعات مفیدی روی متغیر عمق D(X,F) به طور مناسبی توسط تابع چندکیFD-1p=αp ، 0<p<1، از عمق تابع توزیع FD تک متغیره، می دهد.
FD-1p سطح کرانه عمق که یک ناحیه ی بیرونی با احتمال بزرگتر یا مساوی p را مشخص می کند به ما می دهد و آماره ی L برای F-10.5 و F-10.75-F-10.25 میانه و برد میان چارکی عمق بعنوان یک متغیر تصادفی D(X,F) را می دهد.
یک تابع چندکی مناسب به فرم (5-1) با کلاس C از ناحیه های بیرونی D(.,F)و (O(,D,F))= را معرفی می کنیم:
U(p)=αp=FD-1p , 0<p<1Up=infαOα,D,F:POα,D,F≥p= Oαp,D,F= αp=FD-1(p)مثال : برای تابع عمق نیم فضا در حالت d=1 داریم:
(5-2) FDα=2α , 0≤α≤12 .بنابراین:
Up=FD-1p=p2رابطه 5-2 به صورت زیر بدست می آید. بدین منظور قرار دهید:
fx=minP-∞,X,PX,∞آنگاه:
FDα=PfX≤α=1-PfX>α=1-PP-∞,X≥α,PX,∞≥α)=1-P(F(X)≥α,(1-FX)≥α)=1-PFX≥α,FX≤1-α=1-1-2α=2αفصل ششم
آماره های مکان و مقیاس در Rd
6-1- مقدمه
آماره های مکان و مقیاس اساس استنباط یک متغیره هستند و بسط آنها به حالت چند متغیره چندان آسان نیست. در ادامه به بررسی این آماره ها در حالت چند متغیره می پردازیم.
6-2- آماره مکانی L در Rd
تعریف 6-1- آماره های L
آماره L عبارت است از یک ترکیب خطی از آماره های ترتیبی در یک مجموعه از داده ها. میانه نمونه ای و میانگین نمونه ای و میانگین بریده شده مثال هایی از این آماره ها هستند.
6-2-1- آماره مکانی L براساس توابع چندکی
فرض کنید Q(u,p) یک تابع چندکی باشد. برای هر p، تابع
(6-1) Lp=sd-1(m) Qu,pdFQu,p / sd-1(m) dFQu,p
که میانگین نقاط روی کرانه ی ناحیه ی درون چندکی p ام است، یک اندازه برای مکان را ارائه می دهد. ممکن است میانگین های نقاط ناحیه ی درون چندکی p ام با میانه ی m متفاوت باشد، اما اگر X حول مرکز m متقارن باشد و برای هر u و p،Q(-u,p)=Q(u,p) و آنگاه Lp≡m≡L(F).
یک میانگین وزنی از Lp برای هر اندازه احتمال μ روی 0≤p<1 منجر به حالت کلی تری از آماره مکان L می شود.
(6-2) LF=01Lpdμp,
که Lp تابع چندکی p ام از نوع آماره های L تک متغیره می باشد.
β امین میانگین بریده شده در ارتباط با اندازه زیر تعریف می شود:
dμp=(1-β)-1dp , [0,1-β]0 , o,wو دارای تفسیر زیر است:
میانگین X روی ناحیه ی درون چندکی (1-β) ام می باشد.
برای حالت β=0 میانگین F بدست می آید.
برای حالت β=1 یعنی dμp=I{p=0} ، میانه (m) حاصل می شود.
6-2-2- آماره مکانی L براساس توابع عمق
وقتی Q(u,p) در رابطه (6-1) بر اساس تابع عمق بدست آمده باشد و μ دارای تابع چگالی w باشد ، آنگاه LF بدست آمده از رابطه (6-2)، آماره مکانی L بر اساس تابع عمق است. برای مطالعه بیشتر به مقاله لیو، پارلیوس و سینگ (1999) مراجعه کنید.
اگر F حول m متقارن باشد و D(x,F) بطور متقارن وقتی x به طرف m حرکت می کند کاهش یابد آنگاه
L(p)≡m≡L(F)بر اساس یک فرمول مناسب دیگر ، حالتهای L تابعی براساس عمق، یک تابع وزنی w را ایجاد می کند که روی برد تابع عمق تعریف شده است:
(6-3) LF=Rd xwDx,FdF(x) / Rd wDx,FdF(x)
بطور ضمنی به نظر می رسد که (6-3) یک حالت خاص بدست آمده از مراحل بالا است که w(p) توسط رابطه زیر داده شده است:
wαpsmd-1.dFQu,p / wDx,FdFx.تعریف 6-2- چندک های M
چندک u ام چند متغیره ی Q(u) تعریف شده در بخش 3-3-1 برای 2 d≥ ممکن است از طریق معکوس یک نگاشت دیده شود. برای متغیر تصادفی X که یک توزیع اکیدا پیوسته در Rd دارد، Q(u) (چندک u ام) از جواب منحصر به فرد t از برابری u=-EX-t/X-t حاصل می شود:
(6-4) t→ -EX-t/X-t =:GFtبنابراین Q(u) یک چندک توزیع GFt=-EX-t/X-t روی Rd است. برای d=1 توزیع قبلی به یک نگاشت ساده ی تابع توزیع متغیر تصادفی X تنزل می یابد. برای تعمیم به ابعاد بالاتر ، تابعک M و برآوردگرهای M، یک نظریه عمومی برای توزیع های M و چندک های M را فراهم می کنند. در توزیع های M، M پارامتر وجود دارد و برآورد پارامترهای آنها و محاسبه چندک در این حالت منجر به تولید چندک M می شود. تعریف دقیق چندک M از حوصله این پایان نامه خارج است و برای مطالعه بیشتر می توانید به مقاله کولچینسکی مراجعه کنید.
برآوردگرهای M: برآوردگرهای M بر اساس یک تابع (مانند ρ.)که در شرایط ρ0=0 و ρ-x=ρx و غیر ثابت، پیوسته و غیر نزولی در x، صدق کند ساخته می شود و برابر است با
برای پارامتر مقیاس M=argminσ ∈A 1ni=1nρxiσ برای پارامتر مکان M=argminθ∈A 1ni=1nρxi-θکه A مجموعه کلیه برآوردگرهای مورد نظر است، واضح است که برآوردگرهای M وابسته به تابع ρ می باشند.
6-2-3- آماره L مکانی براساس چندک های M
در سال 1997، کولچینسکی بر اساس تابع چندکی M، GP-1، تابعک L چند متغیره LF=B0d-1.hGF-1uα(du) را که در آن α یک اندازه مشخص روی B0d-1 با تغییرات متناهی و h:Rd→Rm یک تابع برداری است تعریف کرده است بطوریکه h انتگرال پذیر باشد.
حالت خاص h(s)=s و GF داده شده در برابری (6-4)، توسط چادوری در سال 1996 بررسی شده است. او همچنین B0∩{u≤r}d-1.Quμ(dμ) را بعنوان یک نسخه ای از میانگین بریده شده چند متغیره پیشنهاد داده است. میانگین بریده شده β ام در این حالت برابر است با:
Qu:u≤t1-β xdxوقتیکه: μdμ=dμ و r=t1-β 6-3- آماره های مقیاس برای آنالیز چند متغیره
در این بخش ما چندین اندازه ی مقیاس ماتریس مقدار و یک روش حقیقی مقدار را بررسی می کنیم.
6-3-1- آماره های مقیاس ماتریس مقدار براساس توابع چندکی
فرض کنید Q(u,p) یک تابع چندکی باشد. برای هر p، تابع (6-5) Sp=Smd-1 Qu,p-mQu,p-m´dFQu,ps(m)d-1 dFQu,pیک اندازه مقیاس ماتریس مقدار است که بر اساس آن و با توجه به اندازه احتمال μ روی [0,1] می توان حالت کلی تری از تابعک مقیاس را به صورت زیر تعریف کرد:
(6-6) SF=01spdμ(p)به طور خاص مقیاس بریده شده تابعی β ام با در نظر گرفتن dμp در بخش 6-2-1، به عنوان میانگین X-mX-m´ روی ناحیه درون چندکی (1-β) ام تفسیر شده است.
6-3-2- آماره های مقیاس ماتریس مقدار براساس توابع عمق
وقتی Qu,p در رابطه (6-5) بر اساس تابع عمق بدست آمده باشد و μ دارای تابع چگالی w باشد، آنگاه SF بدست آمده از رابطه (6-6)، آماره مقیاس ماتریس مقدار بر اساس تابع عمق است برای مطالعه بیشتر به مقاله لیو، پارلیوس و سینگ (1999) مراجعه کنید.
در این حالت مقیاس بریده شده تابعی β ام، میانگین X-mX-m´روی نسبت 1-β از نقاط با بیشترین عمق است.
فصل هفتم
شبیه سازی
7-1- مقدمه
در این فصل برخی از روش های تابع چندکی معرفی شده در فصل های گذشته را شبیه سازی کرده و نشان می دهیم که چندک ها در حالت چند متغیره قابل محاسبه هستند. بدین منظور با استفاده از نرم افزار Rشبیه سازیها انجام شده و برنامه ها در پیوست قابل مشاهده هستند.
7-2- شبیه سازی روش تابع عمق
7-2-1- روش تابع عمق با استفاده از توزیع نرمال
50 مشاهده از توزیع نرمال دو متغیره استاندارد تولید کرده ایم. شکل 7-1 نقاط تولید شده از توزیع نرمال دو متغیره را نشان می دهد که با استفاده از تابع عمق نیم فضا، ناحیه های درونی را با α های 1/0، 2/0 و 4/0 محاسبه کرده و در این تصویر نمایش داده شده است. شکل 7-2 عمق نقاط را نشان می دهد.

شکل (7-1): ناحیه های درونی نقاط تولید شده از توزیع نرمال دو متغیره با α های 1/0، 2/0 و 4/0

شکل (7-2): عمق نقاط تولید شده از توزیع نرمال دو متغیره
7-2-2- روش تابع عمق با استفاده از توزیع نمایی
200 داده از توزیع نمایی تولید کرده ایم. شکل 7-3 نقاط تولید شده از توزیع نمایی را نشان می دهد و با استفاده از تابع عمق نیم فضا، ناحیه های درونی با α های 025/0، 1/0، 2/0 و 4/0 مشخص شده اند. شکل 7-4 عمق نقاط تولید شده را نشان می دهد.

شکل (7-3): ناحیه های درونی نقاط تولید شده از توزیع نمایی دو متغیره با α های 025/0، 1/0، 2/0 و 4/0

شکل (7-4): عمق نقاط تولید شده از توزیع نمایی دو متغیره
7-2-3- روش تابع عمق با استفاده از توزیع یکنواخت
200 داده از توزیع یکنواخت دو متغیره تولید کرده ایم. در شکل 7-5 با استفاده از تابع عمق نیم فضا، ناحیه های درونی حول مرکز با α های 025/0، 1/0، 2/0 و 4/0 را نشان می دهد. شکل 7-6 عمق نقاط تولید شده را نشان می دهند.

شکل 7-5: ناحیه های درونی نقاط تولید شده از توزیع یکنواخت دو متغیره با α های 025/0، 1/0، 2/0 و 4/0

شکل (7-6): عمق نقاط تولید شده از توزیع یکنواخت دو متغیره
7-3- شبیه سازی منحنی مقیاس
7-3-1- شبیه سازی منحنی مقیاس توزیع مستطیلی
200 داده از توزیع یکنواخت استاندارد دو متغیره و 200 داده از توزیع یکنواخت (2و0) دو متغیره تولید کرده ایم. منحنی مقیاس توسط رسم p در مقابل S(p) تشکیل می شود که S(p) حجم ناحیه ی مرکزی می باشد، مباحث تئوری بصورت کامل در بخش 5-1-1 توضیح داده شده است. شکل 7-7 منحنی مقیاس توزیع یکنواخت استاندارد دو متغیره می باشد. شکل 7-8 منحنی مقیاس یکنواخت (2و0) دو متغیره می باشد که چون پراکندگی توزیع یکنواخت (2و0) بیشتر از پراکندگی توزیع یکنواخت (1و0) است مساحت ناحیه ی مرکزی توزیع یکنواخت (2و0) بیشتر از دیگری می باشد.

شکل (7-7): منحنی مقیاس توزیع یکنواخت استاندارد

شکل (7-8): منحنی مقیاس توزیع یکنواخت (2و0)
7-3-2- شبیه سازی منحنی مقیاس توزیع نرمال دو متغیره
200 داده از توزیع نرمال دو متغیره استاندارد (0,I)N و 200 داده از توزیع نرمال دو متغیره (0,2I)N تولید کرده ایم. شکل 7-9 منحنی مقیاس(0,I)N توزیع نرمال دو متغیره و شکل 7-10 منحنی مقیاس توزیع نرمال دو متغیره (0,2I)N را نشان می دهند.

شکل (7-9): منحنی مقیاس توزیع نرمال دو متغیره (0,I)N

شکل (7-10): منحنی مقیاس توزیع نرمال دو متغیره (0,2I)N
منابع و مآخذ

Related posts: