Please enter banners and links.

شکل 2-1 : فضای 6 بعدی μ برای یک ذره
المان حجمی d3xd3v را حول نقاطی همچون نقطه o در فضای فازی μدر نظر می‌گیریم، با شمردن تعداد نقاط در این المان حجمی، نتیجه را برابر مقدار تعریف شده fx,v,td3xd3v قرار می‌دهیم. در صورتی که اندازه این المانهای حجمی طوری انتخاب شود که هر کدام شامل تعداد بسیار زیادی از نقاط مثلا در حدود 109 گردد، و همچنین اگر دانسیته این نقاط از یک المان به المان مجاور ناگهان تغییر نکند، می‌توانیم fx,v,t را بصورت یک تابع پیوسته از مولفه های خود بحساب آوریم. با این توصیف اگر تمامی فضای μ با همه المانهای حجمی را در نظر بگیریم، می‌توانیم تقریب زیر را بدست آوریم:
fx,v,td3vd3x≈fx,v,td3vd3x (2-2)
که در آن مجموع سری در سمت چپ تساوی روی تمامی مراکز المانهای حجمی بسط داده می‌شود، و انتگرال در سمت راست تساوی وارد محاسبات می‌گردد. همچنین تقریبی همواره در محاسبات مورد استفاده قرار می‌گیرد. می‌توان نشان داد که تعداد N مولکول در حجم V با نرمالسازی تابع زیر وجود دارد :
fx,v,td3xd3v=N (3-2)
اگر مولکولها بصورت یکنواخت در فضا پخش شده باشند ، بطوریکه f مستقل از x باشد ، بنابر این:
fx,v,td3v=NV (4-2)
در حقیقت ایده و هدف اصلی از بیان تئوری سینتیک از آنجایی نشات میگیرد که براي يك سيستم فيزيكي، مشخصات ماكروسكوپيك (مشاهده‌پذير)، همگي تابعي از مقادير ميانگين ميكروسكوپيك سيستم مي‌باشند، بدين‌جهت، با توجه به تعريفی که از تابع توزيع داشتیم، مي‌توان مقادير ماكروسكوپيك يك سيستم ترموديناميكي شامل چگالي، سرعت (مومنتوم) را به صورت انتگرال‌هاي زير تعريف نمود:
ρx,t=fx,v,tdv (5-2)
ux,t=1ρfx,v,tvdv (6-2)
برای بدست آوردن دینامیک حاکم بر سیستم، با استفاده از تئوری سینتیک تغییرات f به واسطه برخوردهای ممکن بین ذرات بدست میآید که نتیجه آن معادله بولتزمن است. برای تحقق این هدف، اولین کار ما پیدا کردن معادله انتقالی بولتزمن برای تابع توزیع است. بدلیل اینکه مولکولها همواره از یک المان حجمی دلخواه در فضای μ داخل و خارج می‌شوند، تابع توزیع با گذر زمان تغییر می‌کند. در ابتدا فرض میکنیم که برخوردی بین مولکولها صورت نمیگیرد، در اینصورت یک مولکول با مختصات (x,v) در زمان دلخواه t ، دارای مختصات x+vδt,v+Fmδt در زمان t+δt خواهد بود ، که درآن F نیروی خارجی اعمال شده روی هر مولکول و m جرم هر ذره می باشد. δt را بعنوان مقدار دیفرانسیلی نمو زمان در نظر می‌گیریم. بنابر این همه مولکولهاییکه در یک المان d3xd3v قرار دارند ، به المان d3x’d3v’ در مختصات x+vδt,v+Fmδt در زمان t+δt انتقال می‌یابند.]27[
در غیاب برخوردها تساوی زیر را داریم:
fx+vδt,v+Fmδt,t+δtd3x’d3v’=fx,v,td3xd3v (7-2)
میتوان ثابت کرد که d3xd3v=d3x’d3v’ ، از اینرو معادله (7-2) به رابطه زیر ساده می شود :
fx+vδt,v+Fmδt,t+δt=fx,v,t (8-2)
معادله (8-2) دینامیک سیستم را در غیاب برخوردهای ذرات نشان میدهد، هنگامیکه بین مولکولها برخورد صورت میگیرد این رابطه باید اصلاح شود و ترم برخورد را نیز در برگیرد، خواهیم داشت:
fx+vδt,v+Fmδt,t+δt=fx,v,t+∂f∂tcollδt (9-2)
که در آن ∂f∂tcoll عبارت از ترم برخورد میباشد. با بسط طرف چپ معادله (9-2) و دیفرانسیل گیری درجه اول نسبت به δt، معادله انتقالی برای تابع توزیع هنگامیکه δt→0 را بدست می‌آوریم:
∂∂t+v.∇x+Fm∇vfx,v,t=∂f∂tcoll (10-2)
که در آن ∇x و ∇v ، بترتیب ، اپراتورهای گرادیان نسبت به x و v هستند.
2-2 انتگرال یا تابع برخورد
معادله (10-2) بدون تعریف صریحی از ∂f∂tcoll بی معنی می‌باشد. برای بدست آوردن انتگرال برخورد، بولتزمن، شرایط و فرضیاتی را در نظر گرفت که عبارتند از:
1- تمام برخوردها دوتايي مي‌باشند. اين فرض زماني مي‌تواند معتبر باشد كه سيال (گاز) چندان چگال نباشد. به عبارت ديگر، اگر سيستم شامل N ذره كروي با شعاع r باشد، مي‌بايست داشته باشيم:
Nr3≪1 , Nr2≈1 (11-2)
2- زمان برخوردها در مقايسه با زمان مشخصه سيستم، بسيار ناچيز مي‌باشند. با استفاده از اين فرض در طي برخورد، تنها سرعت ذرات تغيير كرده و موقعيت ذرات تغيير نمي‌كند.
3- برخوردها كاملاً الاستيك مي‌باشند. با فرض v1 وv2 سرعت ذرات قبل از برخورد v1′ و v2’سرعت ذرات بعد از برخورد، بقاي مومنتوم و انرژي به صورت زیر ارضا خواهند شد:
v1+v2=v1’+v2′ (12-2)
v12+v22=v1’2+v2’2 (13-2)
4- برخوردها، در ابعاد ميكروسكوپيك، به صورت بازگشت‌پذير هستند. به عبارت ديگر، احتمال تغيير سرعت سيستم دوذره‌اي با سرعت‌هايv1 وv2 به v1′ و v2′ دقيقاً برابر با احتمال تغيير سرعت سيستم از v1′ و v2′ به v1 وv2 مي‌باشد.
5- در نهايت، شرط آخر، معروف به شرط آشوب بولتزمن مي‌باشد. در اين شرط، فرض بر اين است كه سرعت‌هاي ذرات قبل از برخورد هيچ ارتباط و همبستگي با يكديگر ندارد. به عبارت ديگر، احتمال آن‌كه در موقعيت x ، دو ذره كه هنوز با يکديگر برخورد نداشته‌اند به صورت شانسي انتخاب گردند، برابر است با، ضرب احتمال حضور اين ذرات در اين موقعيت از فضا]28[.
با استفاده از اين پنج فرض و استفاده از ساده‌سازي‌هاي رياضي، بولتزمن تابع برخورد را به صورت زير بدست آورد :
∂fx,v,t∂tcoll=dvdΩσΩv-v*(f*’f’-f*f) (14-2)
که در آن σΩ سطح مقطع برخوردی، f تابع توزیع قبل از برخورد، f’ تابع توزیع بعد از برخورد و Ω شعاع ذرات میباشند.
با جایگزینی در رابطه (10-2) معادله بولتزمن را در حالت کلی بدست میآوریم :
∂∂t+v.∇x+Fm∇vfx,v,t=dvdΩσΩv-v*(f*’f’-f*f) (15-2)
که عبارتست از یک معادله دیفرانسیلی غیر خطی برای f .
2-3 حالت تعادلی سیال و تئوری H- بولتزمن
فرض میکنیم در یک سیستم نیروی خارجی وجود ندارد. در اینصورت، بعد از گذشت زمان کافی، سیستم به یک حالت تعادل میرسد. تابع توزیع تعادلی را بعنوان حل معادله بولتزمن که مستقل از زمان است تعریف میکنیم. این حالت همچنین شکل خاصی از تابع توزیع را بخود اختصاص میدهد هنگامیکه t→∞ میل میکند. از آنجاییکه نیروی خارجی وجود ندارد، میتوانیم فرض کنیم که تابع توزیع مستقل از مختصات فضایی x بوده و از اینرو می تواند بصورت fv,t نوشته شود.]27[
تابع توزیع تعادلی feq(v) بعنوان حل تحلیلی برای معادله ∂fv,t∂t=0 در نظر میگیریم. مطابق با معادله (15-2) ، feq(v) معادله انتگرالی زیر را ارضاء میکند:
dv*σΩdΩv-v*f*eq(v*’)feq(v’)-f*eq(v*)feq(v)=0 (16-2)
یک شرط کافی feq(v) برای حل این معادله عبارتست از:
f*eqv*’feqv’-f*eqv*feqv=0 (17-2)
که در آن v,v*→v’,v*’ از هر برخورد ممکن میباشد. نشان میدهیم که این شرط ضروری است و بنابر این به یک نتیجه مطلوب می‌رسیم که feq(v) مستقل از σΩ است ، زیرا بقیه عبارت غیر صفر هستند. برای بیان شرط (17-2) تابع زیر را تعریف می‌کنیم :
Ht=dv fv,tlnfv,t (18-2)
که در آن fv,t تابع توزیع زمان t است که عبارت زیر را ارضاء میکند:
∂fv,t∂t=dv*σΩdΩv*-v(f*’f’-f*f) (19-2)
مشتقگیری از این تابع بدست میدهد:
dHdt=dv1+lnfv,t∂fv,t∂t (20-2)
بنابر این ∂f∂t=0 دلالت میکند براینکه dHdt=0 ، بعبارتی دیگر شرط لازم برای ∂f∂t=0 اینستکه dHdt=0 . حال ما اثبات می‌کنیم که dHdt=0 ، معادل عبارت (17-2) است . متعاقبا مشخص میشود که (17-2) شرط لازم برای حل معادله (16-2) است. برای این کار به اثبات تئوری زیر می‌پردازیم.
تئوری H بولتزمن]27[ . اگر معادله انتقالی بولتزمن را ارضاء کند آنگاه:
dH(t)dt≤0 (21-2)
اثبات . با جایگزینی (19-2) در عبارت (20-2) داریم:
dHdt=dvdv*σΩdΩv-v*f*’f’-f*f(1+lnf) (22-2)
با جابجایی متغیرهای vوv* در این تساوی، بدلیل ثابت بودن σΩ نسبت به متغیر انتگرالگیری به معادلهای نظیر معادله بالا می‌رسیم، حال با جمع این دو تساوی و ضرب 12 در طرفین خواهیم داشت :
dHdt=12dvdv*σΩdΩv-v*f*’f’-f*f(2+lnff*) (23-2)
این انتگرال در جابجایی متغیرهای v,v* و v’,v*’ ثابت است زیرا برای هر برخوردی یک تصادم معکوس با سطح مقطع برخوردی یکسان وجود دارد ، از اینرو:
dHdt=12dv’dv*’σ’ΩdΩv’-v*’f*f-f*’f'(2+lnf’f*’) (24-2)
با توجه به اینکه dv’dv*’=dvdv* و v’-v*’=v-v* و σ’Ω=σΩ، با جمع طرفین دو عبارت (23-2) و (24-2) و تقسیم طرفین بر 2 بدست می‌آوریم:
dHdt=14dv’dv*’σ’ΩdΩv-v*f*’f’-f*f(lnff*-lnf’f*’) (25-2)
تابع زیر انتگرال معادله بالا هیچوقت مثبت نمی شود.(QED)
بعنوان یک نتیجه فرعی از اثبات، نتیجه میگیریم که dHdt=0 اگر و تنها اگر که تابع زیر انتگرال تساوی (25-2) برابر صفر شود . این امر ثابت می‌کند که عبارت (21-2) برابر (17-2) است. همچنین نشان می‌دهد که تحت شرایط اولیه دلخواه fv,tt→∞feq(v) .
2-4 توزیع ماکسول- بولتزمن
نشان داده شد که تابع توزیع تعادل feq(v) حلی از معادله (17-2) می‌باشد. این تابع توزیع ماکسول- بولتزمن نامیده می‌شود.]27[ برای پیدا کردن این تابع ، از طرفین تساوی (17-2) لگاریتم می‌گیریم:
lnf*eqv*+lnfeqv=lnf*eqv*’+lnfeqv’ (26-2)
از آنجائیکه v,v* و v’,v*’ بترتیب سرعتهای اولیه و نهایی هر برخورد ممکنی هستند، (26-2) دارای شکلی شبیه قانون بقا است. اگر χ(v) کمیتی در ارتباط با یک مولکول با سرعت v باشد، مجموع χv1+χ(v2) در یک برخورد بین مولکولهای v1 و v2 بقا پیدا می‌کند ، راه حلی برای (26-2) عبارت می‌شود از:
lnfeqv=χ(v) (27-2)
عمومی ترین جواب برای معادله (26-2) بصورت زیر است:
lnfeqv= χ1(v)+χ2(v)+… (28-2)
که در آن لیست χ2,… χ1, مجموعه تمامی کمیات مستقل بقا یافته هستند، برای مولکولهای غیر چرخشی این کمیات مشتمل بر انرژی و مومنتوم مولکول میباشند و البته ثابت هستند . در اینجا lnf یک ترکیب خطی از v2 فاکتور سه مولفه ای v بعلاوه یک ثابت دلخواه می‌باشد.
lnfeqv=-Av-u2+lnC (29-2)
feqv=Ce-Av-u2 (30-2)
که در آن A,C و سرعت سه مولفه ای u ، 5 ثابت دلخواه هستند.
این ثابتها را در جملات خواص سیستم می‌توان تعیین کرد. با اعمال شرط (4-2) و اشاره به نماد چگالی ذرات ρ=NV داریم:
ρ=Cdve-Av-u2=Cdve-Av2=CπA32 (31-2)
که از آن نتیجه می‌گیریم که A>0 و
C=Aπ32ρ (32-2)
سرعت متوسط مولکولی یک گاز را v قرار داده و بصورت زیر تعریف می‌کنیم:
v=vdvfeq(v)dvfeq(v) (33-2)
آنگاه
v=Cρvdve-Av-u2=Cρv+udve-Av2=u (34-2)
بنابر این ما باید u=0 بگیریم ، اگر سیال در حالت سکون باشد.
در مرحله بعدی ، انرژی متوسط ϵ یک مولکول را که بصورت زیر تعریف می‌شود ، محاسبه می‌کنیم:
ϵ=dv12mv2feq(v)dvfeq(v) (35-2)
ϵ=mC2ρdvv2e-Av2=2πmCρ0∞dvv4e-Av2=34mA (36-2)
ثابت A بنابراین توسط عبارت زیر به انرژی متوسط مربوط می‌شود:
A=34mϵ (37-2)
با جایگزینی این تساوی در (32-2) برای ثابت C رابطه زیر را بدست می‌آوریم:
C=ρ3m4πϵ32 (38-2)
برای نسبت دادن انرژی متوسط ϵ به یک کمیت قابل اندازه گیری، می‌بایستی معادله حالت مربوط به تابع توزیع تعادلی را پیدا کنیم. ما اینکار را با محاسبه فشار، که بعنوان میانگین نیرو در واحد سطح اعمال شده توسط گاز روی یک سطح کاملا ایده آل تعریف می‌شود، انجام میدهیم.

شکل 2-2: دیسک با سطح واحد برای محاسبه فشار
دیسک نشان داده شده در شکل 2-2 بصورت یک سطح واحد در نظر بگیرید ، فرض کنید که محور عمود بر این سطح ، محور x باشد . یک مولکول تنها در صورتیکه مولفه x سرعتش یعنی vx مثبت باشد به دیسک اصابت می‌کند. سپس مقداری از مومنتوم یعنی 2mvx را تحت انحراف روی دیسک از دست می‌دهد. تعداد مولکولهایی که در واحد زمان توسط دیسک منحرف می‌شوند برابر تعداد مولکولهایی است که با سرعت vx>0 در سیلندر نشان داده شده در شکل محبوس هستند. بنابر این فشار برای گازی که سرعت میانگین مولکولهایش صفر است برابر می‌شود با:
p=vx2mvxvxfeqvdv= 2mC0∞dvxvx2e-Avx20∞dvye-Avy20∞dvze-Avz2= mCdvvx2e-Av2=13mCdvv2e-Av2 (39-2)
که در آن آخرین عبارت از این امر نتیجه می‌شود که feq(v) تنها تابعی از v است، بنابراین میانگین مقادیر vz2,vy2,vx2 برابر با 13 متوسط v2=vx2+vy2+vz2 می‌باشد. در آخر توجه می‌کنیم که:
p=23Cdv12mv2e-Av2=23ρϵ (40-2)
این یک معادله حالت است. از روی تجربیات آزمایشی دمای T را در رابطه p=ρkT تعریف می‌کنیم که در آن k ثابت بولتزمن است. از اینرو:
ϵ=32kT (41-2)
با ترمهای، دمای T ، سرعت ماکروسکوپیک u و چگالی ذرات ρ ، تابع توزیع تعادل برای یک سیال رقیق درغیاب نیروهای خارجی عبارت می‌شود از:
feqv=ρm2πkT32e-mv-u22kT (42-2)
این رابطه توزیع ماکسول بولتزمن است ، که بیانگر احتمال وجود یک مولکول با سرعت v در سیال تحت شرایط تعادل می‌باشد. اگر یک دیواره ایده آل تحت عنوان شرایط مرزی برای گاز اعمال شود ، feqv ثابت باقی می‌ماند . زیرا feqv تنها تابعی از شدت v می‌باشد.
برای سیالی با u=0 ، مرسوم است که سرعت v که نشاندهنده بیشترین احتمال سرعت برای یک مولکول است را با مقدار v ، تعریف ‌کنیم. براحتی پیدا می‌کنیم:
v=2kTm (43-2)
ریشه جذر میانگین سرعت vrms توسط رابطه زیر بدست میآید:
vrms=v2dvfeq(V)dvfeq(v)12=3kTm (44-1)
فصل سوم
گسسته سازی معادله بولتزمن و شرایط مرزی
3-1 تابع برخورد BGK
فرم تابع انتگرال برخورد معرفي شده در معادله (14-1)، بسيار پيچيده است و حل دقيق آن نيازمند تلاش و صرف وقت بسياري مي‌باشد. همچنين حل عددي آن نيز كاري بسيار مشكل است كه خود نيازمند استفاده از تكنيك‌هاي مختلفي است. مي‌توان با استفاده از فرض‌هاي محدود كننده، اين انتگرال را به فرم ساده‌تري به دست آورد. باهاتناگار و گراس وکروگ (بطور مخفف BGK) [25] با استفاده از فرض دور نبودن وضعيت سيستم از حالت تعادلي و تعريف پارامتري به نام زمان آرامش، تابع برخورد بولتزمن را به صورت زير معرفي كردند:
∂f∂tcoll=feq-fτ (1-3)
که در آن τ زمان آرامش است که مقدار زمان سپری شده تصادم در فرآیند برقراری آرامش موضعی را نشان میدهد و feq تابع توزیع تعادلی محلی میباشد و از رابطه (42-2) بدست میآید.
3-2 معادله شبکهای بولتزمن :
در این قسمت ما معادله انتقالی بولتزمن را با انتخاب یک شبکه مناسب (دو بعدی یا سه بعدی) برای فضای سرعت، بصورت فیزیکی گسسته سازی میکنیم. در فصل قبل برای بدست آوردن معادله بولتزمن ما دینامیک حاکم بر سیستم را در جملاتی از تابع توزیع عددی (اسکالر) که تنها معرف تعداد ذرات بود، تعریف کردیم. در ادامه برای بدست آوردن مقادیر ماکروسکوپیک، از تابع توزیع جرمی که از ضرب تابع توزیع عددی در جرم مولکولی m حاصل میشود، استفاده میکنیم.
268605195008525133301843405 در شکل 3-1 دو شبکه معروف سه بعدی D3Q19 و دو بعدی D2Q9 که برای گسسته سازی فضای سرعت بکار میرود را مشاهده میکنید. با انتخاب هر یک از این مدلها با توجه به بعد مسئله مورد نظر، ما وجود ذرات سیال را تنها به گرهها محدود کرده، همچنین ذرات را مقید به حرکت وانتقال

شکل 3-1 : شبکه های معروف سه بعدی D3Q19 و دو بعدی D2Q9
تنها درجهتهای نشانداده شده، مینماییم. معادله بولتزمن را با تابع برخوردی BGK در غیاب نیروهای خارجی و با اندیس i که نشاندهنده جهتهای سرعت در شبکه میباشد ، بصورت زیر مینویسیم :
∂tfi+vi.∇fi=-1τfi-fieq (2-3)
که در آن vi فضای سرعت گسسته شده و fi=fi(x,t) میباشند. واضح است که بعد از گسسته سازی تابع توزیع از حالت پیوسته (در فضای فاز سرعت) در میآید و خواص ماکروسکوپیک که در معادلات (5-2) و (6-2) به فرم انتگرالی بیان شده بود به راحتی بصورت یک مجموع عددی گسسته در خواهد آمد:
ρ=ifi (3-3)
u=1ρivifi (4-3)
حال معادله (2-3) را توسط متغییرهای ei=vvr ، ∇=L∇ ، t=tvrL ، τ=τtc و fi=fiρr ، بی بعد میکنیم. بالانویس ^ برای نشان دادن کمیات بدون بعد استفاده میشود. vr سرعت مرجع ،L یک مقیاس طولی مشخص، tc زمان سپری شده در برخوردها و ρr یک دانسیته مرجع میباشد. سرعت مرجع vr معمولا برابر با کمترین سرعت غیر صفر و دانسیته مرجع طوری انتخاب میشود که دانسیته متوسط در سیستم برابر واحد شود. با این تعاریف ما معادله بیبعد شده و گسسته بولتزمن را بدست میآوریم:
∂tfi+ei.∇fi=-1ϵτfi-fieq (5-3)
که در آن ϵ عدد نادسن نام دارد.
ϵ=tcvrL (6-3)
و عبارت از نسبت زمان برخورد به زمان انتقال میباشد. برای آسانی کار از نوشتن بالانویس ^ صرفنظر میکنیم و توجه داریم که متغییرها بی بعد هستند.در مرحله بعد باید زمان و مکان را بمنظور استخراج یک معادله کاملا منفک شده، جدا کنیم. برای اینکار، مشتق زمانی بوسیله تقریب درجه یک تفاضل محدود جایگزین میشود:
∂tfi≈fix,t+δt-fix,tδt (7-3)
و برای ترم جابجایی از گسسته سازی فضایی پیشرو درجه یک استفاده میکنیم:
ei.∇fi≈fix+eiδt,t+δt-fix,tδx (8-3)
فواصل مکانی شبکه δx و بازههای زمانی δt را طوری تعیین میکنیم که δxδt برابر با حداقل مقدار سرعتهای ei ، یعنی سرعت مرجع vr و مساوی واحد شود (vr=ei=δrδt=1 ). در نهایت ، با انتخاب زمان بی بعد کننده tc ، معادله معروف شبکه ای بولتزمن بدست میآید:
fix+eiδt,t+δt=fix,t-1τfix,t-fieqx,t (9-3)

Related posts: